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G1 de Cálculo 2 - MAT1162 da PUCRIO - 2018.1

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Cálculo 2 - MAT1162 - PUCRIO

Questão 1: Considere as regiões do plano

R 1 = x ,   y ∈ R 2   |     y ≤ 1 + x 2 ,

R 2 = x ,   y ∈ R 2   |     y ≥ 1

R 3 = x ,   y ∈ R 2   |     0 ≤ x ≤ 1 .

Seja R = R 1 ∩ R 2 ∩ R 3 . Seja S = x ,   y ∈ R 2   |     0 ≤ x ≤ 1 ,     0 ≤ y ≤ 1 .

  1. Esboce R hachurando. Esboce a fronteira de R .
  2. Escreva a integral dupla

    3. I = ∫     ∫ R   x y x 2 + y 2   d x d y

    Na forma de uma integral iterada integrando primeiro com respeito a y e em seguida com respeito a x .

  3. Escreva a integral dupla

    4. I = ∫     ∫ R   x y x 2 + y 2   d x d y

    Na forma de uma integral iterada integrando primeiro com respeito a x e em seguida com respeito a y .

  4. Seja

    5. J = I + ∫     ∫ S   x y ⋅ ln ⁡ x 2 + 1   d x d y

    Efetue a integração e escreva J na forma de uma integral simples

    J = ∫ a b f t d t ;

    Explicitando   a , b e f t .

    Obs.: Neste item não é necessário encontrar o valor numérico de J , apenas escrevê-la no formato pedido.

  5. Calcule J .

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Questão 2: Considere as regiões do espaço

U 1 = x ,   y ,   z ∈ R 3   |   z 2 ≤ x 2 + y 2 + 3 ,     z ≥ 0

U 2 = x ,   y ,   z ∈ R 3   |   z ≥ x 2 + y 2 + 1

Seja U = U 1 ∩ U 2 .

  1. Esboce hachurando U ∩ x = 0 .
  2. Considere V = U ∩ x ≥ 0

    3. Escreva V o l V , na forma de uma integral iterada, usando obrigatoriamente coordenadas polares.

  3. Calcule V o l V .

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Listas de Exercícios Resolvidos

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