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Exercícios Resolvidos de Plano Normal a Curva

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Exercício 121234567891011131415161718

Enunciado

Reta Tangente e Plano Normal

Considere as superfícies

S 1 = x , y , z ∈ R 3 x 3 + z 3 - y = 3

S 2 = x , y , z ∈ R 3 z 2 - x 2 = 1 ,   z > 0 , - 1 ≤ x ≤ 1

Considere a curva espacial de interseção das superfícies, C = S 1 ∩ S 2 .

  1. Exiba uma parametrização α - : a , b → R 3 de C ,

    2. α t = x t , y t , z t ∈ C ,         t ∈ a , b

    Satisfazendo

  • α a , b = C
  • α ' t ≠ 0 ,   ∀ t ∈ a , b

Explicitando a , b e α t , t ∈ a , b

  • Escreva a equação cartesiana do plano π ortogonal à curva espacial C passando pelo ponto 0 , - 2,1

    • Passo 1

    a )

    Vamos começar pela superfície S 2 , podemos começar fazendo x = t

    z 2 - t 2 = 1

    z 2 = 1 + t 2

    z = ± 1 + t 2

    Como ele disse ali em cima que z > 0 vamos ter

    x = t

    z = 1 + t 2

    Com - 1 ≤ t ≤ 1

    Mas como vamos achar y ? Olha para a primeira superfície, ele diz que

    x 3 + z 3 - y = 3

    y = x 3 + z 3 - 3

    Colocando os valores de x e z da parametrização aqui vamos ter

    y = t 3 + 1 + t 2 3 - 3

    E a parametrização vai ficar

    α t = t , t 3 + 1 + t 2 3 - 3 , 1 + t 2

    Com - 1 ≤ t ≤ 1

    Passo 2

    b )

    Ele quer o plano normal, para isso precisamos achar o valor de α ' t no ponto que ele pediu, mas qual o valor de t nesse ponto?

    Repara que temos, no ponto

    x = 0

    E

    x = t = 0

    Então temos

    t = 0

    Vamos agora achar a derivada de α t , vamos escrever as raízes como potencia primeiro

    α t = t , t 3 + 1 + t 2 3 2 - 3 , 1 + t 2 1 2

    Isso vai ajudar a derivar

    α ' t = 1,3 t 2 + 3 2 1 + t 2 3 2 - 1 1 + t 2 ' , 1 2 1 + t 2 1 2 - 1 1 + t 2

    α ' t = 1,3 t 2 + 3 2 1 + t 2 1 2 ∙ 2 t , 1 2 1 + t 2 - 1 2 ∙ 2 t

    α ' t = 1,3 t 2 + 3 t 1 + t 2 1 2 , t 1 + t 2 - 1 2

    Passo 3

    Vamos agora descobrir a derivada no ponto

    α ' 0 = 1,3 ∙ 0 2 + 3 ∙ 0 1 + 0 2 1 2 , 0 1 + 0 2 - 1 2

    α ' 0 = 1,0 + 0,0

    α ' 0 = 1 , 0 , 0

    Passo 4

    O plano normal vai ser

    0 , - 2,1 ∙ α ' 0 = x , y , z ∙ α ' 0

    0 , - 2,1 ∙ 1,0 , 0 = x , y , z ∙ 1,0 , 0

    0 = x

    E esse vai ser o plano

    Resposta

    1. α t = t , t 3 + 1 + t 2 3 - 3 , 1 + t 2

      2. Com - 1 ≤ t ≤ 1

    2. x = 0