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Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

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Enunciado

Regra da Cadeia

Seja f x , y uma função com derivadas parciais f x x . f y y , f x y = f y x contínuas. Sejam

x u , v = ln ⁡ 1 + u 2 + v 2

y u , v = e u + v sen ⁡ u v

E

g u , v = f x u , v , y u , v

Assuma que

f ln ⁡ 2 , 0 = 1 ,       f x ln ⁡ 2 , 0 = 2 ,       f y ln ⁡ 2 , 0 = e - 1

Calcule o gradiente de g u , v no ponto 0,1 . Calcule também a taxa de maior variação de g u , v no ponto 0,1

Passo 1

Vamos começar achando o gradiente de g ele vai ser

∇ g u , v = g u , g v

Mas ele disse que

g u , v = f x u , v , y u , v

Então para acharmos as derivadas parciais de g , vamos usar a fórmula que já vimos na nossa teoria

g u = ∂ f ∂ x x u , v , y u , v . ∂ x ∂ u u , v + ∂ f ∂ y x u , v , y u , v . ∂ y ∂ u u , v

E

g v = ∂ f ∂ x x u , v , y u , v . ∂ x ∂ v u , v + ∂ f ∂ y x u , v , y u , v . ∂ y ∂ v u , v

Fica atento aos valores que vamos usar, para f usamos   x u , v , y u , v e para x e y usamos u , v .

Passo 2

Vamos começar com g u

g u = ∂ f ∂ x x u , v , y u , v . ∂ x ∂ u u , v + ∂ f ∂ y x u , v , y u , v . ∂ y ∂ u u , v

Nós temos as funções x u , v e y u , v , vamos as derivadas

∂ x ∂ u = 1 + u 2 + v 2 ' 1 + u 2 + v 2 = 2 u 1 + u 2 + v 2

E

∂ y ∂ u = e u + v sen ⁡ u v + e u + v cos ⁡ u v ∙ v = e u + v sen ⁡ u v + e u + v v cos ⁡ u v

Vamos agora achar essas derivadas em 0,1 :

∂ x ∂ u 0,1 = 2 ∙ 0 1 + 0 2 + 1 2 = 0

E

∂ y ∂ u 0,1 = e 0 + 1 sen ⁡ 0 ∙ 1 + e 0 + 1 1 cos ⁡ 0 ∙ 1 = e sen ⁡ 0 + e cos ⁡ 0 = e

Para a derivada que queremos temos que achar x u , v , y u , v em u , v = 0,1

x 0,1 , y 0,1 = ln ⁡ 1 + 0 2 + 1 2 , e 0 + 1 sen ⁡ 0.1

x 0,1 , y 0,1 = ln ⁡ 2 , e sen ⁡ 0

x 0,1 , y 0,1 = ln ⁡ 2 , 0

Lembrando que ele disse no enunciado que

f x ln ⁡ 2 , 0 = 2

f y ln ⁡ 2 , 0 = e - 1

Assim vamos ter

g u 0,1 = ∂ f ∂ x ln ⁡ 2 , 0 . ∂ x ∂ u 0,1 + ∂ f ∂ y ln ⁡ 2 , 0 . ∂ y ∂ u 0,1

g u 0,1 = 2.0 + e - 1 . e

g u 0,1 = 0 + 1

g u 0,1 = 1

Passo 3

Vamos agora para g v

g v = ∂ f ∂ x x u , v , y u , v . ∂ x ∂ v u , v + ∂ f ∂ y x u , v , y u , v . ∂ y ∂ v u , v

Nós temos as funções x u , v e y u , v , vamos as derivadas

∂ x ∂ v = 1 + u 2 + v 2 ' 1 + u 2 + v 2 = 2 v 1 + u 2 + v 2

E

∂ y ∂ v = e u + v sen ⁡ u v + e u + v cos ⁡ u v ∙ u = e u + v sen ⁡ u v + e u + v u cos ⁡ u v

Vamos agora achar essas derivadas em 0,1 :

∂ x ∂ v 0,1 = 2 ∙ 1 1 + 0 2 + 1 2 = 2 1 + 1 = 2 2 = 1

E

∂ y ∂ v 0,1 = e 0 + 1 sen ⁡ 0 ∙ 1 + e 0 + 1 0 cos ⁡ 0 ∙ 1 = e sen ⁡ 0 = 0

Para a derivada que queremos temos que achar x u , v , y u , v em u , v = 0,1 , mas já achamos ali em cima né?

x 0,1 , y 0,1 = ln ⁡ 2 , 0

Lembrando que ele disse no enunciado que

f x ln ⁡ 2 , 0 = 2

f y ln ⁡ 2 , 0 = e - 1

Assim vamos ter

g v 0,1 = ∂ f ∂ x ln ⁡ 2 , 0 . ∂ x ∂ v 0,1 + ∂ f ∂ y ln ⁡ 2 , 0 . ∂ y ∂ v 0,1

g v 0,1 = 2.1 + e - 1 . 0

g v 0,1 = 2

Passo 4

Vamos agora ao gradiente de g

∇ g 0,1 = g u 0,1 , g v 0,1

∇ g 0,1 = 1,2

Passo 5

A maior taxa de variação ai ser dada pelo vetor gradiente, então a derivada direcional vai ser para o vetor u = 1,2

∂ f ∂ u 0,1 m á x = ∇ g 0,1 ∙ u u

Vamos achar o valor da norma de u

u = 1 2 + 2 2 = 1 + 4 = 5

∂ f ∂ u 0,1 m á x = 1,2 ∙ 1,2 5 = 1 ∙ 1 + 2 ∙ 2 5 = 1 + 4 5 = 5 5 = 5 5 5 = 5

Resposta

∇ g 0,1 = 1,2

∂ f ∂ u 0,1 m á x = 5

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