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Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

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Enunciado

Plano tangente e Reta Normal

Considere a função

f x , y , z = x 2 + x y + y 2 - z 2

E a superfície

S = x , y , z ∈ R 3 f x , y , z = 1

  1. Determine quais dos pontos abaixo pertencem à superfície S :

    2. P 1 = 1,0 , 0 ,           P 2 = 1 , - 1 , 3 ,           P 3 = 1,0 , - 1

  2. Escolha um ponto do item anterior que pertença à superfície S . Escreva a equação cartesiana do plano tangente a S passando por esse ponto.
  3. Considere os pontos P = 1 , - 1,0 e Q = 0,1 , 0 pertencentes à superfície S . Considere o vetor v - = 1,1 , 3 2 . Seja r 1 a reta passando por P com vetor diretor v - , e seja r 2 a reta passando por Q com vetor diretor v - . Determine se r 1 é tangente a S no ponto P , e se r 2 é tangente a S no ponto Q . Justifique sua resposta

OBS: Uma reta é tangente a superfície S em um ponto x 0 , y 0 , z 0 ∈ S se e somente se a reta passa pelo ponto x 0 , y 0 , z 0 e está contida no plano tangente à superfície neste ponto.

Passo 1

a )

Primeira coisa que precisamos fazer é substituir os pontos na função f e ver se vai estar na superfície S ou seja, se o valor da função no ponto é 1 .

Vamos lá, vamos trocar os pontos e ver qual valor da função

f P 1 = f 1,0 , 0 = 1 2 + 1 ∙ 0 + 0 2 - 0 2 = 1

f P 2 = f 1 , - 1 , 3 = 1 2 + 1 ∙ - 1 + - 1 2 - 3 2 = 1 - 1 + 1 - 3 = - 2

f P 3 = f 1,0 , - 1 = 1 2 + 1 ∙ 0 + 0 2 - - 1 2 = 1 - 1 = 0

Logo o único ponto que na função dá 1 é o ponto P 1 .

Passo 2

b )

Ele quer o plano tangente, para isso precisamos no valor do vetor normal. Lembra como fazermos? É só achar o gradiente no ponto que ele quer, no caso P 1

Vamos ao gradiente

∇ f = 2 x + y , x + 2 y , - 2 z

Agora trocando os valores de x , y e z nos pontos

∇ f 1,0 , 0 = 2 ∙ 1 + 0,1 + 2 ∙ 0 , - 2 ∙ 0

∇ f 1,0 , 0 = 2,1 , 0

O vetor normal vai ser

n → = 2,1 , 0

Passo 3

O plano tangente vai ser

P 1 ∙ n → = x , y , z ∙ n →

1,0 , 0 ∙ 2,1 , 0 = x , y , z ∙ 2,1 , 0

2 = 2 x + y

Passo 4

c )

Ele quer que essas retas que ele disse, tanto a r 1 quanto a r 2 , sejam tangentes a S , ou seja, como ele explicou no OBS ele quer que essas retas estejam no plano tangente. Então vamos achar a equação das duas retas e testar na equação do plano tangente e ver se bate.

A primeira reta

r 1 t = P + t v -

r 1 t = 1 , - 1,0 + t 1,1 , 3 2

r 1 t = 1 + t , - 1 + t , 3 t 2

Vamos agora achar o plano tangente que passa por 1 , - 1,0 , para isso precisamos do vetor normal, que vai ser o vetor gradiente do ponto 1 , - 1,0

n → = ∇ f 1 , - 1,0 = 2 ∙ 1 + - 1 , 1 + 2 - 1 , - 2 ∙ 0

n → = 2 - 1,1 - 2,0

n → = 1 , - 1,0

O plano tangente vai ser

1 , - 1,0 ∙ 1 , - 1,0 = x , y , z ∙ 1 , - 1,0

1 + 1 = x - y

2 = x - y

Vamos trocar os valores de x , y e z da reta no plano tangente

x t = 1 + t

y t = - 1 + t

z t = 3 t 2

Substituindo na equação do plano

2 = 1 + t - - 1 + t

2 = 1 + t + 1 - t

2 = 2

Como os valores da direita e da esquerda deram iguais essa reta está no plano tangente.

Passo 5

Vamos para a reta r 2

r 2 t = Q + t v -

r 2 t = 0,1 , 0 + t 1,1 , 3 2

r 2 t = t , 1 + t , 3 t 2

Vamos agora achar o plano tangente que passa por 0,1 , 0 , para isso precisamos do vetor normal, que vai ser o vetor gradiente do ponto 0,1 , 0

n → = ∇ f 0,1 , 0 = 0 ∙ 1 + 1,0 + 2 ∙ 1 , - 2 ∙ 0

n → = 0 + 1,0 + 2,0

n → = 1,2 , 0

O plano tangente vai ser

0,1 , 0 ∙ 1,2 , 0 = x , y , z ∙ 1,2 , 0

2 = x + 2 y

2 = x + 2 y

Vamos trocar os valores de x , y e z da reta no plano tangente

x t = t

y t = 1 + t

z t = 3 t 2

Substituindo na equação do plano

2 = t + 2 1 + t

2 = t + 2 + 2 t

2 = 2 + 3 t

Como os valores da direita e da esquerda deram diferentes essa reta não está no plano tangente.

Resposta

  1. O único ponto que na função dá 1 é o ponto P 1 .
  2. 2 = 2 x + y
  3. r 1 está no plano, enquanto r 2 não está no plano.

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