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G2 de Cálculo 2 - MAT1162 da PUCRIO - 2017.1

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Cálculo 2 - MAT1162 - PUCRIO

Considere as superfícies:

S 1 = x , y , z ∈ R 3   ,   z - y 2 - x 2 + 2 x + 2 y = 2

S 2 = x , y , z ∈ R 3   ; z - 2 x - 2 y = - 2

Seja C a curva espacial dada por C = S 1 ∩ S 2 .

  1. Encontre a equação cartesiana do plano tangente à S 1 em 2 , 4,10
  2. Exiba uma parametrização:

    3. α   : a , b → R 3 ,   α a , b = t r a ç o   d e   α = C

    Explicitando a ,   b ,   α ( t ) e a ' ( t ) com t ∈ [ a , b ]

  3. Dê a parametrização da reta tangente à C em 2 , 4,10 ∈ C , explicitando um vetor diretor dessa reta (não nulo).
  4. Exiba um ponto x 0 , y 0 , z 0 ∈ C tal que a reta tangente neste ponto seja paralela ao plano x z .
  5. Dado 2 , 4,10 ∈ C , exiba o vetor diretor v da reta r ⊂ R 3 que satisfaz as seguintes propriedades:

- r é perpendicular a reta tangente a C em ( 2 , 4,10 )

- r está contida no plano tangente a S 1 em ( 2 , 4,10 )

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Considere g : R 2   ∕ { ( 0,0 ) } → R ² ∕ { ( 0,0 ) }   onde:

g u , v = x u , v , y u , v

Com

x u , v = u u 2 + v 2

y u , v = - v u 2 + v 2

Sendo

u 2 + v ² ≠ 0

Seja f : R 2   ∕ { ( 0,0 ) } → R   ; ( x , y ) → f ( x , y )  

Consiere a composta:

h u , v = f g u , v

  1. Calcule as derivadas parciais x u ,   x v ,   y u ,   y v num ponto ( u , v ) com u 2 + v ² ≠ 0
  2. Assuma f x 1 2 ,   - 1 2 = 3 e f y 1 2 ,   - 1 2 = 4 . Calcule h u ( 1,1 )
  3. Assuma h u 1,0 = 2 e h v 1,0 = 3 . Calcule f x 1 ,   0 e f y 1 ,   0

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Listas de Exercícios Resolvidos

G2 - 2012.2G2 - 2013.1G1 - 2014.1G3 - 2012.2G1 - 2014.2G3 - 2013.2G2 - 2015.1G4 - 2016.2G3 - 2018.2G4 - 2019.2