Considere as superfícies:
Seja a curva espacial dada por .
- Encontre a equação cartesiana do plano tangente à em
- Exiba uma parametrização:
- Dê a parametrização da reta tangente à em , explicitando um vetor diretor dessa reta (não nulo).
- Exiba um ponto tal que a reta tangente neste ponto seja paralela ao plano .
- Dado , exiba o vetor diretor da reta que satisfaz as seguintes propriedades:
Explicitando e com
- é perpendicular a reta tangente a em
- está contida no plano tangente a em
Passo 1
Opa, falou de plano tangente! Vamos seguir o passo a passo de questões de plano tangente.
Primeiro a gente substitui por na equação da superfície, mas como nesse caso não é necessário, vamos começar jogando todas as variáveis para o lado esquerdo e chamando de :
Passo 2
Agora vamos calcular o gradiente de e substituir no ponto .
Substituindo no ponto de tangencia:
Esse é o vetor normal do plano tangente.
Passo 3
Agora é só substituir na equação do plano tangente:
Passo 4
Agora queremos parametrizar a curva de interseção entre as duas superfícies. Para descobrir que curva é essa, vamos começar isolando uma variável de umas das equações das superficies.
As equações das superfícies são:
Isolando o na segunda equação:
Substituindo isso na primeira equação:
Essa é a projeção da nossa curva no plano .
A principio não sabemos que curva é essa, mas como tem e elevados ao quadrado e elevados a um, isso é sempre um indicio de que devemos completar quadrados. Assim:
Temos então um círculo centrado em e de raio :
Passo 5
A parametrização da circunferência é:
Agora, para achar a parametrização da curva temos que substituir essas parametrizações de e na variável isolada . Assim:
Nossa curva fica então:
Passo 6
Mas, a letra pede pra gente dizer também quem é . Derivando em relação a , temos então:
Passo 7
Agora precisamos encontrar a reta tangente a essa curva de interseção. Vamos seguir o passo a passo.
Primeiro vamos encontrar correspondente ao ponto :
Resolvendo esse sistema, encontramos que .
Passo 8
Agora, como já temos , vamos calcular :
Pronto, agora é só substituir na expressão da reta tangente:
Passo 9
Agora temos que achar um ponto em que a reta tangente seja paralela ao plano . Ou seja, o vetor diretor da nossa reta tem que ser paralelo a um vetor que esteja no plano , por exemplo, o vetor , porque no plano é o vale zero.
Agora, se você reparar bem, na verdade o vetor diretor da nossa reta já está no plano , pois a coordenada dele vale zero:
Assim, um ponto em que a reta tangente é paralela ao plano é o próprio ponto , pois a reta tangente nesse ponto já tem um vetor diretor cuja direção é a do plano (tem coordenada nula).
Passo 10
Agora precisamos achar um vetor que seja perpendicular a reta tangente a em e, ao mesmo tempo, esteja contido no plano tangente a em .
Então, nosso vetor é perpendicular ao vetor , que é o vetor diretor da reta tangente e ao vetor , que é o vetor normal ao plano tangente (já que tem que está no plano tangente).
Assim, para achar basta fazer o produto vetorial entre esses dois vetores aos quais ele é perpendicular simultaneamente.