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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – Mais de 1 Parâmetro

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Enunciado

Considere g : R 2   ∕ { ( 0,0 ) } → R ² ∕ { ( 0,0 ) }   onde:

g u , v = x u , v , y u , v

Com

x u , v = u u 2 + v 2

y u , v = - v u 2 + v 2

Sendo

u 2 + v ² ≠ 0

Seja f : R 2   ∕ { ( 0,0 ) } → R   ; ( x , y ) → f ( x , y )  

Consiere a composta:

h u , v = f g u , v

  1. Calcule as derivadas parciais x u ,   x v ,   y u ,   y v num ponto ( u , v ) com u 2 + v ² ≠ 0
  2. Assuma f x 1 2 ,   - 1 2 = 3 e f y 1 2 ,   - 1 2 = 4 . Calcule h u ( 1,1 )
  3. Assuma h u 1,0 = 2 e h v 1,0 = 3 . Calcule f x 1 ,   0 e f y 1 ,   0

Passo 1

a )

Essa é de boas.

Temos

x u , v = u u 2 + v 2

Assim, usando a regra do quociente, suas derivadas parciais são:

x u = 1 u 2 + v 2 - 2 u u u 2 + v 2 2 = v 2 - u 2 u 2 + v 2 2

x v = 0 u 2 + v 2 - 2 v u u 2 + v 2 2 = - 2 u v u 2 + v 2 2

Além disso,

y u , v = - v u 2 + v 2

Então, também usando a regra do quociente, suas derivadas parciais vão ser:

y u = 0 u 2 + v 2 - 2 u - v u 2 + v 2 2 = 2 u v u 2 + v 2 2

y v = - 1 u 2 + v 2 - 2 v - v u 2 + v 2 2 = v 2 - u 2 u 2 + v 2 2

Passo 2

b )

Para calcular a derivada parcial da função composta h em relação a u , vamos usar a regra da cadeia, caso 2 parametros.

∂ h ∂ u = ∂ f ∂ x ∂ x ∂ u + ∂ f ∂ y ∂ y ∂ u

h é função de ( u , v ) , f é função de x , y , x e y são funções de ( u , v ) e queremos essa derivada parcial quando u , v = 1,1 .

Sabemos que

x u , v = u u 2 + v 2

y u , v = - v u 2 + v 2

Então

x 1,1 = 1 2

y 1,1 = - 1 2

Assim, temos

∂ h ∂ u 1,1 = ∂ f ∂ x 1 2 ,   - 1 2 ∂ x ∂ u 1,1 + ∂ f ∂ y 1 2 ,   - 1 2 ∂ y ∂ u 1,1

Passo 3

Agora é só substituir os resultados que já temos e os que foram dados pela questão e encontramos ∂ h ∂ u 1,1 . Temos

f x 1 2 ,   - 1 2 = 3

f y 1 2 ,   - 1 2 = 4

∂ x ∂ u = v 2 - u 2 u 2 + v 2 2

∂ y ∂ u = - 2 u v u 2 + v 2 2

Substituindo esses dois últimos no ponto ( 1,1 ) :

∂ x ∂ u ( 1,1 ) = 0

∂ y ∂ u 1,1 = 2 4 = 1 2

Substituindo tudo na fórmula da regra da cadeia:

∂ h ∂ u 1,1 = ∂ f ∂ x 1 2 ,   - 1 2 ∂ x ∂ u 1,1 + ∂ f ∂ y 1 2 ,   - 1 2 ∂ y ∂ u 1,1

∂ h ∂ u 1,1 = 3.0 + 4 . 1 2 = 2

Passo 4

c )

Quando u , v = ( 1,0 ) , temos que

x 1 , 0 = 1

y 1,0 = 0

Além disso, pela regra da cadeia, temos:

∂ h ∂ u 1 , 0 = ∂ f ∂ x 1,0 ∂ x ∂ u 1,0 + ∂ f ∂ y 1,0 ∂ y ∂ u 1 , 0

E

∂ h ∂ v 1,0 = ∂ f ∂ x 1,0 ∂ x ∂ v 1,0 + ∂ f ∂ y 1,0 ∂ y ∂ v 1,0

O enunciado nos dá

∂ h ∂ u 1,0 = 2

∂ h ∂ v 1,0 = 3

E sabemos que

∂ x ∂ u = v 2 - u 2 u 2 + v 2 2

∂ y ∂ u = - 2 u v u 2 + v 2 2

∂ x ∂ v = - 2 u v u 2 + v 2 2

∂ y ∂ v = v 2 - u 2 u 2 + v 2 2

Podemos calcular esses valores no ponto ( 1,0 ) :

∂ x ∂ u 1,0 = - 1

∂ y ∂ u 1,0 = 0

∂ x ∂ v 1,0 = 0

∂ y ∂ v 1,0 = - 1

Passo 5

Substituindo tudo nas formulas da regra da cadeia, temos

∂ h ∂ u 1,0 = - 1 . ∂ f ∂ x 1,0 + 0 . ∂ f ∂ y 1,0 = 2

∂ h ∂ v 1,0 = 0 . ∂ f ∂ x 1,0 - 1 . ∂ f ∂ y 1,0 = 3

Temos então um sistema, com duas equações e duas incógnitas, que são justamente as derivadas parciais que queremos descobrir.

Resolvendo esse sistema, encontramos que:

∂ f ∂ x 1,0 = - 2

∂ f ∂ y 1,0 = - 3

Resposta

a )

x u = 1 u 2 + v 2 - 2 u u u 2 + v 2 2 = v 2 - u 2 u 2 + v 2 2

x v = 0 u 2 + v 2 - 2 v u u 2 + v 2 2 = - 2 u v u 2 + v 2 2

y u = 0 u 2 + v 2 - 2 u v u 2 + v 2 2 = 2 u v u 2 + v 2 2

y v = - 1 u 2 + v 2 - 2 v - v u 2 + v 2 2 = v 2 - u 2 u 2 + v 2 2

b )

∂ h ∂ u 1,1 = 2

c )

∂ f ∂ x 1,0 = - 2

∂ f ∂ y 1,0 = - 3

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que todas as funções dadas são diferenciáveis.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , (a) determine ∂ z / ∂ r e ∂ z / ∂ θ e (b) mostre que ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ r 2 +
Se z = f ( x , y ) , onde x = s + t e y = s - t , mostre que ∂ z ∂ x 2 - ∂ z ∂ y 2 = ∂ z ∂ s ∂ z ∂ t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = arcsin ⁡ x - y x = s 2 + t 2 y = 1 - 2 s t
Use a regra da cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t z = sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ ϕ θ = s t 2 ϕ = s 2 t
Se z = f x , y , onde f é diferenciável, e x = g t; y = h t g 3 = 2 ; h 3 = 7 g ' 3 = 5; h ' 3 = - 4 f x 2,7 = 6; f y 2,7 = - 8 Determine d z d t quando t = 3 .