G2 de Cálculo 2 - MAT1162 da PUCRIO - 2018.1

Considere a curva espacial parametrizada por

Seja traço de .

1. Obtenha e tal que
2. Seja uma outra função real de variáveis, satisfazendo:

Onde .

Seja a composta .

Escreva a derivada em termo de .

3. Seja a função dada no item . Considere também a função definida no item . Note que é uma função real de uma variável real.

Assuma no presente item que . Exiba a equação paramétrica da reta normal ao gráfico de em (no ponto , em termos de .

Considere as superfícies

Considere e a projeção de no plano .

1. Identifique como uma curva clássica:

• Se é um círculo exiba o centro e o raio

• Se é uma elipse, exiba o centro e os semieixos.

• Se é uma hipérbole, exiba as equações cartesianas das retas assíntotas.

Explicite uma parametrização da curva na forma , onde

2. Explicite uma parametrização da curva na forma

Tal que , explicitando , e .

Calcule .

3. Escreva a equação paramétrica da reta tangente à passando pelo ponto .
4. Escreva a equação cartesiana do plano ortogonal à passando pelo ponto .
5. Escreva um vetor normal à superfície em . Escreva a equação paramétrica do plano tangente à em .