Considere as superfícies
Considere e a projeção de no plano .
- Identifique como uma curva clássica:
- Explicite uma parametrização da curva na forma
- Escreva a equação paramétrica da reta tangente à passando pelo ponto .
- Escreva a equação cartesiana do plano ortogonal à passando pelo ponto .
- Escreva um vetor normal à superfície em . Escreva a equação paramétrica do plano tangente à em .
• Se é um círculo exiba o centro e o raio
• Se é uma elipse, exiba o centro e os semieixos.
• Se é uma hipérbole, exiba as equações cartesianas das retas assíntotas.
Explicite uma parametrização da curva na forma , onde
Tal que , explicitando , e .
Calcule .
Passo 1
Primeiramente, vamos descobrir quem é a tal da curva .
Vamos fazer a interseção de e . Para isso, vamos isolar o na equação de :
Beleza? Isolamos o em função de e por que estamos buscando a projeção da curva de interseção no plano , onde o não aparece.
Agora, substituindo isso na equação de :
Completando quadrados em :
Dividindo os dois lados por :
E isso é exatamente a equação de uma elipse!!
Assim, a projeção da curva de interseção no plano , isto é, a nossa curva é uma elipse, com centro em e semieixos em e em .
Passo 2
Agora precisamos parametrizar essa curva.
Mas parametrização de elipse é moleza, a gente já ta careca de saber, não é mesmo?
Então vamos lá.
Assim,
Mas aí, o enunciado tá pedindo que pertença a um intervalo do tipo . Então, temos que transformar nossa volta completa da elipse, de até em algo do tipo até .
E aí, se a gente andar de até , a gente também tem uma volta completa. Assim
Passo 3
Agora a gente precisa parametrizar a curva de interseção real, isto é, a curva (não mais a projeção), na forma
Mas aí eu te digo, se a gente já parametrizou a curva , que é a projeção no plano da curva , que tá no espaço, nós já temos a parametrização de e .
Afinal de contas, a projeção de uma curva no plano é exatamente a curva, só que com a coordenada . Assim
Passo 4
Beleza, agora só tá faltando a última coordenada dessa curva, que é a coordenada .
Mas lembra que lá no passo 1 a gente isolou em função de ?
Ora, se agora a gente já tem o parametrizado e função de , é só a gente substituir isso nessa expressão aí de cima e vamos ter o parametrizado em função de também!
Então vamos fazer isso:
Portanto, a parametrização da nossa é
Passo 5
Mas, o enunciado diz que essa curva é tal que , então vamos verificar se a gente achou certo mesmo:
Show, então acertamos!
Passo 6
Mas ainda falta calcular .
Substituindo :
Passo 7
Agora vamos à equação paramétrica da reta tangente à passando pelo ponto .
O vetor que tá na mesma direção da reta tangente à nós acabamos de achar no passo anterior, que é o vetor
Isso porque o parâmetro é o valor que corresponde ao ponto de tangência , conforme a gente verificou no passo 5.
Assim fica moleza então, porque já temos tudo que precisamos pra parametrizar a reta tangente. É só substituir:
Passo 8
Força na peruca que não acabou ainda!
Agora é hora da equação cartesiana do plano normal à passando pelo ponto .
Para isso, precisamos achar o vetor normal a esse plano.
Mas, pensa comigo: estamos buscando um vetor que seja perpendicular ao plano que é perpendicular à . Ou seja, estamos buscando um vetor que esteja na mesma direção de .
OPAAAAA, mas esse vetor a gente já tem: é o tal do vetor diretor da reta tangente, o vetor
Então, mais uma vez, queremos o plano normal à curva no ponto e já temos o ponto e o vetor normal ao plano, ou seja, já temos tudo, é só substituir na equação do plano:
E essa é a equação do plano normal a curva de interseção .
Passo 9
Tá acabando, juro!
Precisamos, primeiramente, achar um vetor normal à superfície em .
E depois, vamos ter que achar a equação paramétrica do plano tangente à em .
Para achar o vetor normal basta a gente jogar tudo pra um lado só na equação de e chamar isso de :
O vetor normal a será o vetor gradiente dessa função :
No ponto :
Passo 10
Agora, pra fechar (finalmente), a equação paramétrica do plano tangente é dada por
Que é bem parecida com a equação paramétrica da reta, certo? Só que agora temos 2 parâmetros e 2 “vetores diretores”, que são vetores paralelos ao plano.
Um desses vetores paralelos ao plano nós já temos, que é o vetor
Pois ele tá direção tangente à curva e estamos procurando o plano tangente à curva, certo?
Beleza, mas ainda falta o outro vetor paralelo ao plano.
E precisamos encontrar esse outro vetor a partir de informações que a gente já tem.
Vamos com calma. Queremos um vetor paralelo ao plano e temos um outro vetor paralelo ao plano, o vetor , e um vetor normal ao plano, o vetor .
Esses dois vetores são perpendiculares entre si, mas se fizermos o produto vetorial entre eles, acharemos um terceiro vetor, perpendicular simultaneamente, a esses dois vetores.
E se você pegar sua mão direita e fizer a tal da regra da mão direita, vai ver que com 3 vetores perpendiculares, teríamos 2 vetores perpendiculares entre sim, porém no mesmo plano, e um vetor, perpendicular aos outros dois, e normal ao plano em que os dois primeiros vetores estão.
E agra veja você se essa não é exatamente a situação que queremos? Dois vetores no mesmo plano (tangente à ) e um vetor normal a esse plano.
Certo? Entã vamos fazer esse produto vetorial:
Substituindo tudo na equação paramétrica do plano tangente:
FIM, TCHAU, BYE BYE!