Considere a curva espacial parametrizada por
Seja traço de .
- Obtenha e tal que
- Seja uma outra função real de variáveis, satisfazendo:
- Seja a função dada no item . Considere também a função definida no item . Note que é uma função real de uma variável real.
Onde .
Seja a composta .
Escreva a derivada em termo de .
Assuma no presente item que . Exiba a equação paramétrica da reta normal ao gráfico de em (no ponto , em termos de .
Passo 1
Embora pareça confuso pelo enunciado, a ideia nesse item é que a gente descreva a equação cartesiana da curva , ou seja, que a gente descubra de qual função a curva é curva de nível e o valor de .
De acordo com a parametrização, temos
Vamos tirar uma relação dessas coisas...
Temos seno e cosseno. O que a gente faz na maior parte das vezes que temos essas duas funções trigonométricas?
Tentamos usar a relação fundamental da trigonometria:
Mas pra isso, a gente vai precisar isolar o seno e cosseno na nossa parametrização. Assim
Agora sim, substituindo na relação fundamental da trigonometria:
Isso significa que a parametrização da nossa curva atende a equação
Mas muita calma nessa hora! Essa equação representa o que?
Passo 2
Eu sei que a mão coça pra dizer que isso é uma elipse, porque afinal de contas só estamos vendo duas variáveis aí.
Mas, não podemos esquecer que nossa curva tem uma terceira componente, a componente , o que significa que ela é uma curva que tá no espaço.
Se ela tá no espaço, então ela tem que atender a equação de uma superfície. E a equação
No espaço representa que o pode valer qualquer coisa, logo, nossa curva está sobre um cilindro!
Assim, nossa
Corresponde a
Portanto, temos
E
O que significa que a curva é curva de nível da função .
Passo 3
Aqui na letra a gente precisa calcular a derivada da função composta .
Para isso, como você já deve estar careca de saber, vamos usar a regra da cadeia:
O gradiente de nós já temos, a questão nos deu, já que ela não deu a expressão de pra gente poder calcular, assim:
Passo 4
Mas, a gente vai ter que calcular:
Substituindo no ponto , já que a questão nos deu o gradiente de nesse ponto, então precisamos calcular nesse ponto também, pra ficar coerente.
Mas é função de , então precisamos achar qual o correspondente ao ponto :
Igualando as coordenadas:
Resolvendo esse sistema, achamos que
Agora sim, substituinto em , temos
Passo 5
Substituindo tudo na fórmula da regra da cadeia:
Passo 6
E, pra fechar a questão, precisamos encontrar a equação paramétrica da reta normal a no ponto .
Para isso, vamos definir a superfície que é gráfico da função :
O vetor normal a essa superfície, gráfico de , e consequentemente na mesma direção da reta normal é o vetor gradiente de :
No ponto correspondente a , temos
Mas o a gente já calculou na letra , assim:
Passo 7
Agora, pra gente poder substituir tudo na equação da reta normal, só falta a gente descobrir quem é o ponto .
Lembrando que
Temos que
Mas, a gente já viu no passo 4 que quando , nossa curva vale
Assim,
E isso a questão disse pra gente assumir como sendo igual a .
Portanto, nosso ponto da reta será o ponto
Passo 8
Agora sim, substituindo tudo na equação paramétrica da reta:
Resposta
A curva é curva de nível da função .