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G3 de Cálculo 2 - MAT1162 da PUCRIO - 2017.2

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Cálculo 2 - MAT1162 - PUCRIO

( I ) Seja

A =   x , y ∈ R 2   x > 0   }  

Seja

f x , y = x y 2 2 - x 2 y 2 - x 3 6 - y 3 6 + 3 x + y

Com x , y ∈ A

  1. Encontre todos os pontos críticos de f em A .

  2. • Encontre um aberto n   B ⊂ A , tal que f restrita à A seja estritamente côncava.

    • Exiba um ponto x 0 , y 0 ∈ B

    • Esboce B .

  3. Exiba os pontos críticos de f em A que são pontos de máximo local, justificando sua resposta.

( I I ) Seja

F x , y , z = x y 2 2 - x 2 y 2 - x 3 6 - y 3 6 + z 4 12 - z 2 2

  1. Encontre funções h 1 ( x , y , z ) , h 2 ( x , y , z ) e h 3 ( x , y , z ) tais que a função F ( x , y , z ) restrita ao aberto

C = x , y , z ∈ R 3 h 1 x , y , z > 0 ,   h 2 x , y , z > 0 ,   h 3 x , y , z > 0 }  

Seja estritamente côncava. Exiba um ponto x 1 , x 2 , x 3 ∈ C .

(Dica: use os calculos do item I )

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Questão 2: Seja a > 0 uma constante. Seja

U = x ,   y ,   z ∈ R 3   |   x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 ,   z ≥ 0 .

Considere a integral tripla

J a = ∭ U   z 2 a 2 - x 2 - y 2 - z 2   d x d y d z

  1. Escreva J a numa forma de integral iterada, usando obrigatoriamente coordenadas esféricas.

    2. Obs.: Neste item não é necessário calcular a integral.

  2. Escreva J a numa forma de integral iterada, usando obrigatoriamente coordenadas cilíndricas.

    3. Obs.: Neste item não é necessário calcular a integral.

  3. Calcule J a .

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Listas de Exercícios Resolvidos

G2 - 2012.2G2 - 2013.1G1 - 2014.1G3 - 2012.2G1 - 2014.2G3 - 2013.2G2 - 2015.1G4 - 2016.2G3 - 2018.2G4 - 2019.2