P2 de Cálculo 2 da UFRJ - 2022.1

Considere as funções , e .

(a) Determine se existe o limite . Justifique.

(b) Sabendo que existe, calcule o valor do limite .

(c) Encontre o valor de a de modo que, definindo , a função f seja contínua em . Justifique.

Considere a função .

(a) Indique a direção que determina a maior taxa de crescimento de no ponto . Qual é o valor dessa taxa?

(b) Calcule a derivada direcional de na direção no ponto .

(c) Considere a curva , , e a função composta . Calcule .

Dada a superfície de equação , para quais valores positivos de e o seu plano tangente no ponto é paralelo ao plano .

Desejamos fabricar um cilindro circular reto de raio e altura . Usando o método dos multiplicadores de Lagrange, encontre o volume máximo do cilindro quando sua área (incluindo as duas tampas) é de unidades de área.

Dica: Lembre que a área lateral de um cilindro circular reto de raio e altura é , e o volume é .