PF de Cálculo 2 da UFRJ - 2018.2

A curva parametrizada por

Está contida em

1. Um cone com vértice no ponto
2. Um plano
3. Uma efera com centro no ponto
4. Um paraboloide
5. Um cilindro

Seja uma função diferenciável em . Considere a função . Então é correto afirmar que:

1. Se e então não é possível concluir se possui valor extremo local em
2. Se e então tem ponto de máximo em
3. Se e então tem ponto de máximo em
4. Se e então tem ponto de mínimo em
5. Se e então tem ponto de mínimo em

Considere as afirmativas sobre a função

1. possui três pontos críticos distintos
2. possui exatamente um ponto crítico e este é um ponto de mínimo local
3. Há ao menos um ponto crítico de que é ponto de sela

1. Todas as afirmações são verdadeiras
2. As afirmações I e III são verdadeiras e a afirmação II é falsa
3. As afirmações I e II são falsas e a afirmação III é verdadeira
4. As afirmações I e III são falsas e a afirmação II é verdadeira
5. As afirmações II e III são falsas e a afirmação I é verdadeira

Considere a curva

Andando sobre a curva a partir do ponto ao longo de um arco de comprimento igual a , chegaremos ao ponto:

5. Nenhuma das demais alternativas

Seja uma função diferenciável em . Considere um ponto sobre a curva de nível em que . Sabendo que o plano tangente ao gráfico de em é dado pela equação

E que é um vetor tangente a então é correto afirmar que:

Uma parametrização da reta tangente à curva espacial definida por

No ponto é:

5. Não existe reta tangente passando por .

Considere a função

E o vetor unitário onde . Sabendo que a derivada direcional de no ponto na direção de vale zero, podemos afirmar que:

Se

Então

1. não pode ser calculado pois não está definida em
2. não existe

Considere a quádrica de equação

1. Essa quádrica é um hiperboloide que corta o plano
2. Uma parametrização da interseção da quádrica com o plano é
3. Uma parametrização da interseção do plano com a porção da quádrica no semi espaço é

1. Todas as afirmações são verdadeiras
2. As afirmações I e III são verdadeiras
3. As afirmações II e III são verdadeiras
4. As afirmações I e III são falsas
5. As afirmações II e III são falsas

Considere a função

Definida na região dos pontos que satisfazem a relação

Então

1. O valor mínimo absoluto de em é 0 e o valor máximo absoluto de em é 4. Há uma infinidade de pontos de mínimo e 4 pontos de máximo em .
2. O valor mínimo absoluto de em é 0 e o valor máximo absoluto de em é 4. Há um ponto de mínimo e 4 pontos de máximo em .
3. O valor mínimo absoluto de em é 0 e o valor máximo absoluto de em é 2. Há um ponto de mínimo e uma infinidade de pontos de máximo em .
4. O valor mínimo absoluto de em é 0 e o valor máximo absoluto de em é 4. Há 4 pontos de mínimo e 4 pontos de máximo em .
5. Nenhuma das demais alternativas

Questão 1: Seja uma função diferenciável tal que

Então

Questão 2: Sabendo que é uma diferenciável que satisfaz a identidade

Para todo , podemos concluir que

1. e .
2. e .
3. e .
4. e .
5. e não há informação suficiente para concluir quanto vale .

Questão 3: Sejam e duas soluções da equação diferencial

Suponha que . Então podemos afirmar que, para todo , temos:

1. , para algum .
2. , para algum .
3. , para algum .
4. , para algum .
5. , para algum .