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Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

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Enunciado

UFRJ. Cálculo 2. P2. 2022.1. Questão 4.

Desejamos fabricar um cilindro circular reto de raio r e altura h . Usando o método dos multiplicadores de Lagrange, encontre o volume máximo do cilindro quando sua área (incluindo as duas tampas) é de 20 unidades de área.

Dica: Lembre que a área lateral de um cilindro circular reto de raio r e altura h é 2 π r h , e o volume é π r 2 h .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Imagine que fomos contratados por uma empresa para fabricar um cilindro circular reto. Para a fabricação desse cilindro temos apenas 20 unidades de área.

Você é novo na empresa e quer impressionar seu chefe, então decide fazer o melhor cilindro possível, ou seja, o cilindro com o maior volume possível.

E aí? Como fazemos isso?? 🤔

O enunciado já nos deu a dica. Vamos usar o método de multiplicadores de Lagrange.

Temos duas funções, a função área do cilindro dada por A r , h = 2 π r h + 2 π r 2 e a função volume V r , h = π r 2 h .

Aplicando o método de multiplicadores de Lagrange, vamos calcular

∇ V r , h = λ ∇ A r , h

Bora começar? 😁

Passo 2

Primeiro de tudo, temos que calcular o gradiente de V , onde

∇ V r , h = ∂ V ∂ r , ∂ V ∂ h

Derivando V com relação a r por derivação polinomial, onde subtraímos 1 do expoente e multiplicamos a variável pelo seu expoente.

∂ V ∂ r = π 2 r 2 - 1 h = 2 π r h

Fazemos o mesmo para a derivada de V com relação a h

∂ V ∂ h = π r 2 h 1 - 1 = π r 2

Logo o gradiente de V é

∇ V r , h = 2 π r h , π r 2

Agora vamos calcular o gradiente de A

∇ A r , h = ∂ A ∂ r , ∂ A ∂ h

Derivando A com relação a r , temos

∂ A ∂ r = 2 π r 1 - 1 h + 2 π 2 r 2 - 1 = 2 π h + 4 π r

Fazendo o mesmo para A com relação a h

∂ A ∂ h = 2 π r h 1 - 1 + 0 2 π r 2 = 2 π r

O gradiente de A é

∇ A r , h = 2 π h + 4 π r , 2 π r

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora aplicamos os multiplicadores de Lagrange

∇ V r , h = λ ∇ A r , h

2 π r h , π r 2 = λ 2 π h + 4 π r , 2 π r

Dessa forma, temos o seguinte sistema

2 π r h = λ 2 π h + 4 π r π r 2 = λ 2 π r

Simplificando o sistema

r h = λ h + 2 r r = λ 2

Com isso, temos que

λ = r h h + 2 r λ = r 2

Igualando os multiplicadores e simplificando, temos

r h h + 2 r = r 2 → h h + 2 r = 1 2

Manipulando a equação, vamos obter

2 h h + 2 r = 1

2 h = h + 2 r

r = h 2 ,     h = 2 r

Interessante, não é?

Passo 4

Encontramos uma relação entre os valores de r e h . Substituindo r = h 2 em A , temos

Lembrando que a área que temos disponível é de 20 unidades, então

A r , h = 2 π h 2 h + 2 π h 2 2 = 20

π h 2 + π h 2 2 = 20

Manipulando essa equação, chegamos em

3 π h 2 2 = 20

3 π h 2 = 40

h = 40 3 π

h = 2 10 3 π

se r = h 2 , então

r = 2 10 3 π 2

r = 10 3 π

Pronto, agora só mostrar para seu chefe o que você acabou de fazer e aproveitar para pedir um aumento! 😎😉

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

h = 2 10 3 π

r = 10 3 π

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