UFRJ. Cálculo 2. P2. 2022.1. Questão 3.
Dada a superfície de equação , para quais valores positivos de e o seu plano tangente no ponto é paralelo ao plano .
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nessa questão foi dada uma superfície descrita pela equação .
O objetivo é obter valores para e de modo que o plano tangente no ponto seja paralelo ao plano .
E como fazemos para obter esse plano paralelo a ?
Temos uma formulinha que nos dá o plano tangente a uma superfície sabendo que o ponto , ela é dada por
Grandinha, não é?
Mas relaxa, vai dar tudo certo!
Bora ver como é esse negócio?
Passo 2
Primeiro vamos calcular as derivadas parciais da superfície
Por derivação polinomial, temos
Aplicando o ponto , vamos obter
Agora calculando a derivada parcial com relação a
Também por integração polinomial, temos
Substituindo o ponto
Por último, derivando com relação a
Pela regra da cadeia (a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora, temos
Aplicando o ponto
Tranquilo até aqui?
Passo 3
O próximo passo é calcular
Substituindo esses resultados na formulinha que vimos no início, temos
Logo o plano tangente a superfície é dada por
Agora vamos lembrar um pouco sobre planos paralelos!
Dado um plano o vetor normal a esse plano é dado pelos valores que estão multiplicando as variáveis , ou seja, o vetor normal a esse plano é dado por .
Se dois planos não paralelos, o que podemos dizer dos seus vetores normais? 🤔
Eles devem ser iguais ou múltiplos, não é?
Ou seja, para descobrir os valores de e o que está multiplicado em deve estar multiplicado em também no outro plano a mesma coisa em e em . Logo
Podemos dizer que
Resolvendo esse sistema, temos
Encontramos os valores para e !
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
