UFRJ. Cálculo 2. P2. 2022.1. Questão 1.
Considere as funções , e .
(a) Determine se existe o limite . Justifique.
(b) Sabendo que existe, calcule o valor do limite .
(c) Encontre o valor de a de modo que, definindo , a função f seja contínua em . Justifique.
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nessa questão foi dada três funções , e .
No item a) temos que calcular o limite de quando tende a e verificar se o limite existe.
Já no item b) vamos calcular o limite de quando tende a .
E por fim, no item c), temos que obter o valor de , tal que para que a função seja contínua nesse ponto.
E aí? Como vamos calcular esses itens?
Nos itens a) e b) já esta explicito o que temos que fazer. Vamos usar nossos conhecimentos em limites de funções para descobrir se o limite existe e para descobrir o valor que tende quando aproximamos do ponto .
Já no item c) vamos usar o cálculo de limites para descobrir o valor que tende quando nos aproximamos de fazendo a função ser contínua nesse ponto.
Entendeu? Bora começar?!
Passo 2
Primeiro vamos calcular o item a).
Vamos verificar se existe
Se substituirmos direto na função, vamos obter
Então um método muito interessante que podemos aplicar é aproximar do ponto por curvas que passam por esse ponto. Por exemplo:
Se nos aproximarmos pela reta , substituímos por na função e calculamos o limite, veja só
Ainda não podemos substituir, então vamos aplicar . Dessa forma, derivamos o numerador e o denominador da função até eliminarmos a indeterminação.
Substituindo por , temos
Logo, vemos que para essa aproximação, o limite de para é dado como
Vamos tentar por outra curva?
Passo 3
E se nos aproximarmos pela curva ? Substituímos onde tem por 0, ou seja
Logo para essa curva, o limite é dado como
Vamos fazer mais uma aproximação! Dessa vez por
Com essa curva, também vemos que
Quanto mais curvas usarmos como aproximação, mais embasamento terá nosso resultado. Mas vamos encontrar que
Ou seja, o limite existe e é igual a
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 4
Agora no item b), vamos obter o limite de quando
Se substituirmos direto, temos
Ou seja, temos uma indeterminação. Temos que contornar esse problema de alguma forma.
Se convertermos as coordenadas do problema para coordenadas polares e fazendo uma translação no eixo da origem do sistema, podemos dizer que
Assim, reescrevendo nossa função, temos
simplificando o resultado
Como e simplificando do numerador com o denominador
dessa forma, nosso limite é dado como
Substituindo por , temos
Ou seja, o limite de quando é
Perceba que neste caso, tende a pois fizemos a translação da origem do sistema 😉
Interessante, não é? 😁
Passo 5
Por fim, vamos calcular o valor de , tal que e faça a função ser contínua nesse ponto.
Se , então
Queremos saber o valor que tende quando tende a . Ou seja, o limite de quando
Olhando para as propriedades de limites, vemos que o limite da soma é igual a soma dos limites, ou seja
O limite de para esse ponto já calculamos e foi dado como .
Já substituindo o ponto em , temos
Ou seja
Logo, deve ser igual a para que seja contínua!
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
Resposta
a)
b)
c)