Sejam com e .
a) Mostre que
b) Seja a superfície união de , e .
Se quando aponta “para fora” de , calcule o valor de .
(Dica: A superfície não é fechada. Feche-a e utilize o Teorema do Divergente.)
Passo 1
a) Cara, calcular , é o mesmo que calcular o rotacional desse campo , já que
Aí a gente pode calcular
Nosso campo é:
Então precisamos calcular:
Passo 2
Agora vamos calcular , que é o mesmo que calcular o divergente de .
Ele tem essa fórmulinha:
Como o nosso campo é:
Então a gente calcula:
Prontinho! Provamos o que ele pediu!
Mas repara que o que a gente fez foi calcular
Ou seja, a gente calculou o divergente de um rotacional, e isso sempre zera! Por isso que nossas continhas deram 0 mesmo.
Passo 3
b) Ele diz para usarmos o Teorema do Divergente para achar . Sendo que é a superfície união de , e .
E quando aponta “para fora” de .
Os requisitos do teorema são
- nosso campo e suas derivadas devem estar bem definidos em todo . Já que não temos nenhuma restrição no domínio, tipo um denominador que pode zerar, isso tá valendo!
- o vetor normal à S aponta para fora dela: pelo enunciado, isso também acontece!
Maaas, a gente não atende um critério muito importante: nossa superfície não está fechada. Ela é o hiperboloide de uma folha (aquele em formato de tronco)
Mas só de e . Junto com o plano , dentro de , ou seja, um plano com formato circular. Repara que esse plano fecha o hiperboloide por baixo, mas falta fechar em cima, na altura .
O que a gente faz? Chora? Não! A gente vai fechar essa superfície. Com um plano em formato circular, porque planos são simples. Aí a nossa superfície geral vai ser e esse plano, beleza?
Podemos parametrizar esse plano como:
A componente dele em é essa porque ele está em no espaço. Agora repara aqui nesse gráfico lindão:
Repara que o nosso plano, para fechar a essa superfície, precisa ter o formato da interseção do hiperboloide com o plano , certo? A equação dela é:
Ou seja, uma circunferência. Nosso plano vai estar dentro dessa circunferência. Então a gente pode dizer que o domínio dele é:
Passo 4
Agora vamos montar nossa equação pelo teorema do Divergente. Ele diz que:
Esse é uma superfície fechada. No nosso caso, a superfície fechada é a soma de duas superfícies. A e o nosso plano . Então a gente pode reescrever essa parte assim:
Lembra que nosso divergente deu 0 e que já temos a integral
Aí ficamos assim
Só falta calcular essa integral de superfície sobre o plano. Então vamos focar nela!
Passo 5
O campo é aquele:
A nossa parametrização do plano é:
Esse vai ser o domínio da nossa integral.
A gente precisa começar achando o vetor normal a esse plano. Mas repara que esse plano é paralelo a . O vetor normal a todo o (e ao nosso plano) é o vetor , que é o sentido do eixo , certo?
Então esse vai ser o nosso vetor? Cara, ele com certeza é normal a nossa superfície, mas ele está apontando para fora da nossa região?
Está sim! Como ele sai do plano que fecha nossa região por cima e está apontando para cima (porque ), então ele aponta para fora da nossa região!
Aí o nosso integrando fica:
A gente precisa substituir as componentes do plano aí.
O domínio dessa integral vai ser o domínio da parametrização. Aí a gente escreve
Passo 6
Nossa integral ficou assim:
A integral dupla sobre esse círculo de raio vai ser igual a área do círculo! Isso porque o argumento dela é . Como a área do círculo é e :
Voltando para nossa equaçãozinha:
Daí a gente tira que
Resolvendo essa equação do segundo grau:
Como está dentro de uma raiz em
Ele só pode ser positivo, então
Ufa!