G3 de Cálculo 3 - MAT1163 da PUCRIO - 2013.2

Considere a superfície que é a parte da esfera que está dentro do cone com e com os vetores normais apontando para fora. Seja

, calcule:

Usando uma superfície apropriada

c) Determine o fluxo do campo vetorial através de

Sejam e funções escalares definidas em de classe e seja a superfície fronteira de uma região sólida . Suponha que estamos nas condições do Teorema de Gauss.

Mostre que

Onde

Mostre que a equação define como função implícita de e numa vizinhança de . Calcule

Considere a superfície que é a parte da esfera que está dentro do cone com e com os vetores normais apontando para fora. Seja

Use o teorema de Stokes para calcular

Observe a figura abaixo que representa o toro obtido girando em torno do eixo uma circunferência com centro no ponto e com raio . A distância do ponto à origem é .

1. Mostre que , é a representação paramétrica do toro, onde
2. Calcule o vetor normal ao toro no ponto
3. Calcule a área do toro