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Exercícios Resolvidos de Teorema da Função Implícita

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Enunciado

Teorema da função implícita

Mostre que a equação cos ⁡ x 2 y + e x z = x define x como função implícita de y e z numa vizinhança de 1 , π 2 , 0 . Calcule

∂ x ∂ y π 2 , 0

Passo 1

A primeira coisa a fazer é determinar o vetor X e o vetor Y . O Vetor X vai ser aquele que você está em função, neste caso

X = y , z

E o Y é o resto

Y = x

Vamos ter

F x , y , z = cos ⁡ x 2 y + e x z - x

Pela nossa definição já vemos que

F x , y , z = 0

ntão podemos continuar, a função de zero

Já definimos tudo que precisamos vamos as contas.

Passo 2

O que temos que fazer para ver se podemos definir implicitamente é fazer F Y e ver se ela é diferente de 0 no ponto que ele deu.

F Y = ∂ F ∂ x = - 2 x y sen ⁡ x 2 y + z e x z - 1

Vamos agora fazer no ponto que ele pediu 1 , π 2 , 0

F Y 1 , π 2 , 0 = - 2 ∙ 1 ∙ π 2 sen ⁡ 1 2 ∙ π 2 + 0 e 1 ∙ 0 - 1 = - π sen ⁡ π 2 + 0 - 1

F Y 1 , π 2 , 0 = - π + 0 - 1

F Y 1 , π 2 , 0 = - π - 1

Como é diferente de 0 podemos definir implicitamente a função

Passo 3

Para achar a derivada temos que achar agora F X

F X = ∂ F ∂ y ∂ F ∂ z = - x 2 sen ⁡ x 2 y x e x z

Vamos agora fazer no ponto 1 , π 2 , 0

F X 1 , π 2 , 0 = - 1 2 sen ⁡ 1 2 ∙ π 2 1 e 1 ∙ 0 = - 1 1

Passo 4

Vamos ter agora

g ' X 0 = - F Y - 1 . F X

Lembrando que

X 0 = y 0 , z 0

X 0 = π 2 , 0

g ' π 2 , 0 = - - π - 1 - 1 - 1 1

Usando álgebra linear vamos ter

g ' π 2 , 0 = 1 1 + π - 1 1

g ' π 2 , 0 = - 1 1 + π 1 1 + π

Lembrando que

g ' π 2 , 0 = ∂ x ∂ y π 2 , 0 ∂ x ∂ z = - 1 1 + π 1 1 + π

Vamos ter

∂ x ∂ y π 2 , 0 = - 1 1 + π

∂ x ∂ z π 2 , 0 = 1 1 + π

Resposta

∂ x ∂ y π 2 , 0 = - 1 1 + π