Integral de superfície – Caso vetorial, Teorema de Stokes, Teorema de Gauss
Considere a superfície que é a parte da esfera que está dentro do cone com e com os vetores normais apontando para fora. Seja
, calcule:
Usando uma superfície apropriada
c) Determine o fluxo do campo vetorial através de
Passo 1
A primeira coisa que você precisa olhar é que aquela integral pode ser vista como
Beleza?
Temos que achar o
Repara que
Então se aplicarmos o teorema de Gauss a integral tripla vai ser de , resultando em , mas não podemos sair aplicando o teorema de Gauss aqui porque a superfície não é fechada.
A superfície é composta da parte da esfera dentro do cone. O limite é dado pela interseção das duas. Substituindo uma equação na outra:
Vamos ter
Só peguei o positivo porque ele disse no enunciado que
Voltando para a equação da esfera
Isso é uma circunferência de raio e centro em isso porque temos que
Vamos pegar a superfície sendo essa circunferência, ou seja
Agora podemos aplicar o teorema de Gauss em vai ficar
Então vamos ter
Basta fazermos a integral de superfície de que é muito mais fácil que aquela esfera.
Passo 2
A parametrização do círculo vai ser
Com
Temos que achar o vetor normal a essa superfície apontando para fora de , isso vai ser apontando para negativo.
O vetor normal é igual a:
Passo 3
Vamos para a integral de superfície
Passo 4
Isso tudo nos diz que
Passo 5
Repara que então o fluxo vai ser
Como já vimos aquela integral vai dar então