1º EE de Cálculo 3 da UFPE - 2017.1

Questão 3:

Considere o campo vetorial .

1. Mostre que é conservativo sem calcular um potencial.
2. Obtenha um potencial para .
3. Calcule , onde é a parte da curva de a .

Considere um arame fino com o formato da hélice de parametrização . Calcule o comprimento da curva e a massa do arame, sabendo que a densidade do fio em cada ponto é igual ao quadrado da sua distância à origem.

Questão 4:

A curva de equação é chamada de Lemniscata de Gerono. Seu gráfico está esboçado abaixo.

Uma parametrização para a parte da Lemniscata de Gerono que circunda a região colorida na figura acima é

1. A parametrização acima percorre a curva no sentido horário ou anti-horário? Justifique.
2. Seja uma região plana cuja fronteira é uma curva fechada e simples . Mostre que a área de pode ser calculada pela fórmula
3. Calcule a área da parte colorida na figura acima.

Considere o campo vetorial dado por

1. Mostre que , onde é a circunferência .
2. O campo é conservativo em ? Justifique.
3. Sendo , mostre que .
4. Mostre que para toda curva fechada simples que circunde a origem.