Considere um arame fino com o formato da hélice de parametrização . Calcule o comprimento da curva e a massa do arame, sabendo que a densidade do fio em cada ponto é igual ao quadrado da sua distância à origem.
Passo 1
Comprimento de uma curva , a essa altura do campeonato, é nos dado por uma integral de linha bem especial...
De forma especial também, temos a massa. A massa de uma curva, arame, é dada por:
Onde é a função de densidade que já-já determinaremos ;)
Passo 2
Vamos primeiro calcular o comprimento.
Para resolver essa integral de linha, vamos seguir o passo a passo da resolução direta:
1º - Parametrizar a curva .
2º - determinar o termo .
Bora?
Passo 3
A primeira etapa para a nossa alegria é bem simples, pois nem precisamos fazer nada, afinal de contas, a curva já se encontra parametrizada:
e o ...
Passo 4
Quanto ao termo , desse não podemos fugir. Devemos calcula-lo como manda o figurino, ops! A fórmula kkk
Derivando...
Calculando o módulo...
Logo...
Passo 5
Substituindo tudo e calculando a integral...
O comprimento da curva é
Onde significa unidades de comprimento.
Passo 6
Ainda nos falta calcular a massa...
Observe que a função de densidade ainda precisa ser determinada. Bem, essa função de acordo com o enunciado é dada pelo quadrado da distância de um ponto a origem. Essa distância é...
Colocando a distância ao quadrado...
Para resolver essa integral, calculemos seguindo o mesmo passo-a-passo, e na verdade, os dois primeiros passos serão idênticos, afinal é a mesma curva e, portanto, mesmo . A única coisa que vamos ter que fazer mesmo é substituir os termos da parametrização na função.
Passo 7
Na parametrização...
, enquanto isso .
Substituindo na função de densidade...
Substituindo então na integral de linha...
Onde é a unidade de massa.
Resposta
Comprimento:
Massa: