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Exercícios Resolvidos de Função Potencial

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Enunciado

Questão 3:

Considere o campo vetorial F → x ,   y = 10 x 4 - 2 x y 3 ,   - 3 x 2 y 2 .

  1. Mostre que F → é conservativo sem calcular um potencial.
  2. Obtenha um potencial para F → .
  3. Calcule ∫ C   F → ⋅ d r → , onde C é a parte da curva x 5 - 5 x 2 y 2 - 7 x 2 = 0 de 0 ,   0 a 3 ,   2 .

Passo 1

a )

Bem, um campo só tem potencial se ele não tiver problema onde estivermos trabalhando. E isso acontece, pois o campo F → x ,   y não tem nenhum problema no seu domínio, por isso dizemos que o domínio é simplesmente conexo.

A outra condição é o rotacional ser z e r o , se lembra?!

r o t   F = ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = 0

Então calculando esses caras, lembrando que

F x ,   y = P ,   Q = 10 x 4 - 2 x y 3 ,   - 3 x 2 y 2

ou seja, a P é a primeira e Q é a segunda entrada....

∂ Q ∂ x = ∂ ∂ x - 3 x 2 y 2

Derivando...

∂ Q ∂ x = - 6 x y 2

Calculando a outra derivada

∂ P ∂ y = ∂ ∂ y 10 x 4 - 2 x y 3 →

∂ P ∂ y = - 6 x y 2

Epa! Se fizermos

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = - 6 x y 2 - - 6 x y 2

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = 0

Corta, corta e realmente zera!

Isso quer dizer que o campo tem função potencial que simplifica a nossa vida, bora encontra-lo?

Passo 2

b )

Ok! Aqui devemos lembrar-nos da teoria, beleza?

Se ele é conservativo então ele satisfaz F → = ∇ ω . Mas quem é esse ômega que apareceu aí? :\

Esse ômega é a função potencial, e pela teoria, o gradiente dela deve ser igual ao campo F , só isso, beleza?

∂ ω ∂ x ,   ∂ ω ∂ y = 10 x 4 - 2 x y 3 ,   - 3 x 2 y 2

Portanto a gente pode dizer que

I                 ∂ ω ∂ x = 10 x 4 - 2 x y 3

I I                 ∂ ω ∂ y = - 3 x 2 y 2                    

Passo 3

Então o que a gente deve fazer agora é pegar a primeira I I , pois está mais fácil, e integrar com relação a y

ω x , y = ∫     - 3 x 2 y 2 d y + g ( x )

Note que aparece um g ( x ) aí, pois se derivarmos em relação à x ela some, então integramos ela volta. Como se fosse a constante de integração,saca? Mas não se preocupe, no próximo passo a determinamos

Integrando considerando x constante...

ω x , y = - x 2 ∫     3 y 2 d y + g ( x )

Integrando em y ...

ω x , y = - x 2 y 3 + g ( x )

Passo 4

Como eu disse, vamos agora determinar g ( x ) , e como podemos fazer isso? Derivando ω com relação a x e depois comparando com o que temos em I ...

∂ ω ∂ x = ∂ ∂ x - x 2 y 3 + g ( x ) →

∂ ω ∂ x = - 2 x y 3 + g ' ( x )

Comparando agora com o que temos em ( I ) do passo 3...

- 2 x y 3 + g ' ( x ) = 10 x 4 - 2 x y 3

Cortando essas coisas iguais

g ' x = 10 x 4

Integrando dos dois lados ∫ g ' x d x = ∫ 10 x 4 d x →

g x = 10 x 5 5 + c

Tomando essa constante c como zero (ela é indiferente pra nós aqui ), uma função potencial para a F é

ω x , y = - x 2 y 3 + g ( x )

ω x , y = - x 2 y 3 + 2 x 5

Esse é um potencial para o campo F →

Passo 5

c )

Pela teoria, se ω é uma função potencial para F → , então

∫ C   F → ⋅ d r → = ω B - ω ( A )

Onde B é o ponto final e A é o de inicio. No nosso caso esses pontos são A = 0 ,   0 e B = 3 ,   2 . Logo

ω x , y = - x 2 y 3 + 2 x 5 →

ω A = ω 0 ,   0 = - 0 2 0 3 + 2 . 0 5 = 0

Calculando o outro...

ω B = ω 3 ,   2 = - 3 2 2 3 + 2 3 5

- 9 ∙ 8 + 489 = 414

Logo...

∫ C   F → ⋅ d r → = ω B - ω A =

414 - 0 =

414

Resposta

a )

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = 0       e     o     d o m í n i o     s i m p l e s m e n t e   c o n e x o .

b )

ω x , y = - x 2 y 3 + 2 x 5

c )

414

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