P2 de Cálculo 3 da UFRJ - 2019.2

Considerar a seguinte integral de linha

1. Mostre que o valor dessa integral é independente do caminho conectando os pontos e no semi-espaço

2. Calcule o valor da integral

3. Explique porque não é possível chegar a uma conclusão similar a do item para a integral

Seja

Calcular onde S é a esfera , orientada com a normal saindo.

Seja e S a semiesfera , com a normal tendo coordenada positiva em Escrever a integral de superfície (não precisa calcular ela) usando:

1. A parametrização

2. A parametrização

3. Calculando primeiro e escrevendo a integral de função escalar com respeito a parametrização do item .

Calcular , onde é a curva parametrizada , para e