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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

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Enunciado

Seja F → = e - x 2 + y , z x , e z + 1 e S a semiesfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 , z ≥ 0 , com a normal tendo coordenada z positiva em 0,0 , 1 .   Escrever a integral de superfície (não precisa calcular ela) ∬ S F   → ∙ n → d S usando:

1. A parametrização x , y → x , y , 1 - x 2 - y 2 ,   x , y x 2 + y 2 ≤ 1 } ,  

2. A parametrização ϕ , θ → s e n ϕ cos ⁡ θ , s e n ϕ s e n θ , cos ⁡ ϕ ,   ϕ , θ   ∈ [ 0 , π / 2 ] × [ 0,2 π ] ,

3. Calculando primeiro F n = F → ∙ n →   e escrevendo a integral de função escalar ∬ S F n d S   com respeito a parametrização ϕ , θ do item 2 .

Passo 1

Como já temos nossa superfície parametrizada, para calcular

∬ S F   → ∙ n → d S

Vamos precisar de substituir a superfície no campo e encontrar nosso n → que pra esse caso conhecido é

n → = - ∂ z ∂ x , - ∂ z ∂ y , 1

Ficando assim

n → = x 1 - x 2 - y 2 , y 1 - x 2 - y 2 , 1

Só falta agora nossos limites de integração. Vamos escolher um dos parâmetros para ser independente e o outro dependente do primeiro.

Escolhendo o x como independente, ele irá variar de - 1 a 1 enquanto que o y variará de - 1 - x 2   e 1 - x 2 .

Assim já sabemos quais vão ser nossos limites de integração e assim montar a integral

∬ S F   → ∙ n → d S = ∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 e - x 2 + y , 1 - x 2 - y 2 x , e 1 - x 2 - y 2 + 1 . x 1 - x 2 - y 2 , y 1 - x 2 - y 2 , 1 d y d x

Passo 2

Como já temos nossa superfície parametrizada, que chamaremos de σ , para calcular

∬ S F   → ∙ n → d S

Vamos precisar de substituir a superfície no campo e encontrar nosso n → que pra esse caso precisamos montar o produto vetorial

n → = ∂ σ ∂ ϕ × ∂ σ ∂ θ = i j k c o s ( φ )   c o s ( θ ) c o s ( φ )   s e n ( θ ) - s e n ( φ ) - s e n ( φ )   s e n ( θ ) s e n ( φ )   c o s ( θ ) 0

Ficando assim

n → = s e n 2 ( φ )   c o s ( θ ) , s e n 2 ( φ )   s e n ( θ ) , s e n ( φ )   c o s ( φ )

Como os limites de integração já foram dados, podemos montar nossa integral

∬ S F   → ∙ n → d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 e - ( s e n φ c o s θ ) 2 + s e n ( φ )   s e n ( θ ) , c o s ( φ ) ( s e n ( φ )   c o s ( θ ) , e c o s ( φ ) + 1 . s e n 2 ( φ )   c o s ( θ ) , s e n 2 ( φ )   s e n ( θ ) , s e n ( φ )   c o s ( θ )

Passo 3

Aqui é pedido que se calcule primeiro o vetor normal unitário.

Como temos uma superfície S : x 2 + y 2 + z 2 = 1 , uma forma fácil de encontrar um vetor normal a ela é calculando o gradiente que pra esse caso fica ( 2 x , 2 y , 2 z ) .

Precisamos agora somente normalizar esse vetor e obter o unitário

Seu modulo é 2 .   x 2 + y 2 + z 2

Dividindo o vetor pelo módulo dele, obtemos o unitário

n → = ( x , y , z ) x 2 + y 2 + z 2

Para calcular F n , apenas multiplicamos F → ∙ n → que resulta em

F n = x e - x 2 + x y + z x y + z e z + z   x 2 + y 2 + z 2

Passo 4

Agora iremos substituir a parametrização no campo e multiplicar pela norma, calculado a partir de:

∂ σ ∂ ϕ × ∂ σ ∂ θ = i j k cos ⁡ φ cos ⁡ θ cos ⁡ φ s e n θ - s e n φ - s e n φ s e n θ s e n φ cos ⁡ θ 0 = s e m 2 φ cos ⁡ θ , s e m 2 φ s e n θ , s e m φ cos ⁡ φ

∂ σ ∂ ϕ × ∂ σ ∂ θ = s e n ( θ )

∬ S F n d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 ( s e n φ c o s θ e s e n φ c o s θ 2 + s e n φ 2 c o s θ s e n θ + s e n φ 2 c o s φ c o s θ s e n θ + c o s φ e c o s φ + c o s φ ) . ( s e n θ )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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