P2 de Cálculo 3 da UNICAMP - 2014.1 - Noturno

Encontre uma representação em série de potências em torno de da função

Sugestão:

Para o seguinte sistema linear homogêneo de e.d.o.’s:

i. Prove que os autovalores são e encontre os autovetores.

ii. Encontre a solução geral (real) do sistema linear homogêneo de e.d.o.’s.

Encontre a solução geral (real) do sistema linear não-homogêneo utilizando o método de variação de parâmetros (indicando claramente a matriz fundamental). Note que o sistema homogêneo associado está descrito acima na parte desta questão.

Apresente a extensão par e periódica de período da função onde e esboce o gráfico no intervalo .

Encontre a série de Fourier da função acima.

Usando separação de variáveis, encontrar a solução da seguinte equação do calor. Explique detalhadamente como se resolve o problema

onde é a função definida no item .

Mostre que é um ponto ordinário para a equação

Prove que e que a fórmula de recorrência da equação em é

para .

A partir da relação de recorrência determine a fórmula para o coeficiente geral da solução da equação.

Identifique as duas soluções em séries de potências em torno de , linearmente independentes e determine um raio mínimo de convergência. Justifique.

Encontre a solução com os dados iniciais e .