Solução de EDO em série – ponto ordinário
Mostre que é um ponto ordinário para a equação
Prove que e que a fórmula de recorrência da equação em é
para .
A partir da relação de recorrência determine a fórmula para o coeficiente geral da solução da equação.
Identifique as duas soluções em séries de potências em torno de , linearmente independentes e determine um raio mínimo de convergência. Justifique.
Encontre a solução com os dados iniciais e .
Passo 1
Bom, essa é fácil. Vamos reconhecer a equação
como na forma
Então, como , não há nenhum ponto singular. Isto é, todos os pontos são ordinários, inclusive .
Passo 2
Vamos buscar uma solução em série para esta equação. Assim, admitimos uma função analítica com as seguintes características:
Passo 3
Vamos, agora, introduzir as fórmulas na equação:
Assim, vamos colocar todos os e coeficientes para dentro dos somatórios.
E vamos deixar sempre dentro. Para isso, necessitamos fazer um deslocamento nos índices dos somatórios...
Logo:
Passo 4
Agora, vamos deixar todos os somatórios a partir do maior valor inicial de (), tirando os termos que sobram do somatório:
Assim, fica:
E podemos juntar os somatórios:
Mas como , teremos
Passo 5
Para obter a relação de recorrência, temos:
Mas, trocando por , obtemos :
Passo 6
A fórmula para o coeficiente geral é dada fazendo um deslocamento de três unicades na fórmula anterior (troca-se por ):
para . Além disso, e são constantes e .
Passo 7
Já obtivemos a relação de recorrência. Agora vamos lembrar que foi dado que .
Neste caso, como a relação de recorrência é de três em três coeficientes, sabemos que , isto é, .
Ok, então nos sobram duas séries de coeficientes, uma começando em e outra em .
Percebeu? Eliminamos uma carreira de termos, pois eles são todos nulos. Então, nos sobram as parcelas com e .
Passo 8
Para a primeira série,
teremos com :
Assim:
Então:
Passo 9
Analogamente, para a segunda série:
Teremos com :
Assim:
Então:
Passo 10
Para avaliar o raio de convergência, utilizamos o Teste da Razão (para a primeira série):
com
Logo:
Portanto, a série é convergente para todo . Isto é, o raio de convergência é .
Para a segunda série, o desenvolvimento é análogo:
com
Logo:
Isso comprova que o raio de convergência é infinito.
Passo 11
Para achar a solução final, basta combinar as soluções linearmente independentes:
Portanto:
Passo 12
Dadas as condições iniciais e , podemos encontrar e .
Então, como :
Agora, passando o para dentro na segunda série e derivando tudo:
Como , vem:
Portanto, a solução final é
Resposta
é ponto ordinário.