P2 de Cálculo 3 da UNICAMP - 2016.1 - Noturno

a) Mostre que é um ponto singular-regular para a equação

b) Encontre uma solução por série da equação na forma

Com sendo a maior raiz da equação indicial associada a equação.

1. Encontre a solução do sistema linear homogêneo de edo’s usando o método de autovalores e autovetores onde
2. Encontre a solução geral do sistema linear não homogêneo (cujo sistema homogêneo associado está na parte (a)) utilizando o método de variação de parâmetros:

1. Mostre que é um ponto ordinário para a equação
2. Determine a formula de recorrência da solução em série da equação.
3. Encontre as duas soluções linearmente independentes indicando o termo geral de cada solução de.
4. Encontre a solução por série de potencias da equação dado que e

Resolva o seguinte problema de condução do calor usando o método de separação de variáveis justificando detalhadamente toda a análise:

Calcule a soma da série

Estude a convergência da série:

Encontre uma representação em série de potências em torno de da função

E determine o intervalo de convergência.

Sugestão:

Encontre o intervalo de convergência da série

Não esqueça de testar os extremos do intervalo, se for o caso.

Seja

a) Estenda para todos os outros valores reais de como uma função par e periódica de período . Esboce o gráfico da extensão.

Seja

b) Estenda para todos os outros valores reais de como uma função ímpar e periódica de período . Esboce o gráfico da extensão.

c) Calcule a série de Fourier da extensão ímpar de .