Para o seguinte sistema linear homogêneo de e.d.o.’s:

i. Prove que os autovalores são e encontre os autovetores.

ii. Encontre a solução geral (real) do sistema linear homogêneo de e.d.o.’s.

Encontre a solução geral (real) do sistema linear não-homogêneo utilizando o método de variação de parâmetros (indicando claramente a matriz fundamental). Note que o sistema homogêneo associado está descrito acima na parte desta questão.

Item i: para achar os autovalores, basta fazermos :

Resolvendo a equação de segundo grau:

Vamos, agora, obter os autovetores correspondentes aos autovalores.

• Para :

A equação do autovetor diz que . Então vamos fazer assim, vamos chamar de o autovetor associado ao autovalor .

E, assim, obtemos e :

Repare que nosso vetor tem o formato:

Então:

• Para :

Assim, as equações são redundantes. Uma possível solução é e :

E como:

Note que é de fato o conjugado de .

Item ii: a solução do sistema linear homogêneo é dada combinando os resultados acima. Vamos olhar para os autovalores e autovetores juntos:

Desta forma, teremos:

E, combinando as respostas:

Para acharmos a solução geral do problema, vamos usar o método da variação de parâmetros. Para isso, definimos uma função , tal que a solução do sistema seja

Onde:

Desta forma, nosso problema se restringe a resolver a equação:

Beleza, mas quem é a matriz fundamental ? Fácil, olha ela aí!

Substituindo e , obtemos:

Para a inversa, temos:

Assim, o sistema se torna:

Resolvendo :

Resolvendo :

Logo:

Portanto,

Depois de muito chorar em posição fetal, resolvendo essa conta achamos isso aqui:

Que é a resposta.