Apresente a extensão par e periódica de período da função onde e esboce o gráfico no intervalo .

Encontre a série de Fourier da função acima.

Usando separação de variáveis, encontrar a solução da seguinte equação do calor. Explique detalhadamente como se resolve o problema

onde é a função definida no item .

Para encontrar a série de Fourier, vamos seguir os passos básicos:

Onde é o período; portanto, .

Vamos avaliar os coeficientes da série:

Note que as descontinuidades de não afetam a integral.

Agora, temos:

Além disso:

Combinando os resultados, a série de Fourier é simplesmente

Para resolver o problema por separação de variáveis, vamos escrever

Note que se trata de uma equação de calor.

Com a separação, teremos:

Portanto, nossa equação se torna

E isso origina duas equações (uma em e outra em ):

Agora, vamos olhar para as condições iniciais:

De e , se , então ambas as condições seriam atendidas. Mas como isso implicaria em , não atenderia à condição . Logo, .

Neste caso, nos resta admitir o seguinte:

Assim, formamos o seguinte problema:

Buscando uma solução não-trivial , vamos avaliar a equação característica:

E a solução geral é da forma

Derivando e aplicando as condições de contorno:

Note que na última equação não podemos ter (se não teríamos ). Então, precisamos de . Como , sobra

Como queremos , basta fazer , de modo que obtemos . Estes são nossos autovalores!

Portanto, ficamos com

que são nada mais nada menos que nossas autofunções!

Agora que já conhecemos os autovalores , vamos voltar pra equação em :

Fácil, né? Vamos substituir por :

E, assim, uma solução deve ser

Agora vem o pulo do gato. Se qualquer é solução para , então uma combinação linear dessas soluções (para diferentes valores de ) também é solução:

Assim:

Mas os coeficientes são justamente os coeficientes da série de Fourier de : .

Lembre que e , então e . Logo, sobra um termo apenas:

Na realidade, a solução é exatamente .