P2 de Cálculo 4 da UFRJ - 2012.1

Considere a equação de Laplace em coordenadas polares no domínio ( é dado pelo plano menos o disco de raio ), com condição de contorno definida abaixo.

1. Aplique separação de variáveis na equação e encontre as EDOs associadas ao problema acima.
2. Encontre a solução limitada do problema.

Aplique separação de variáveis na equação diferencial parcial com condições de contorno abaixo, e encontre as soluções diferenciais ordinárias (EDOs) envolvendo as variáveis e , com as respectivas condições de contorno. (Obs: não é necessário resolver as EDOs.)

para

Seja uma função - periódica, tal que se .

1. Esboce o gráfico de no intervalo .
2. Calcule a série de Fourier da função .

Resolva o seguinte problema de autovalores (Obs.: todas as possibilidades de devem ser analisadas.)