Resolva o seguinte problema de autovalores (Obs.: todas as possibilidades de devem ser analisadas.)
Passo 1
A primeira coisa que vamos fazer é escrever a equação característica:
Como não sabemos o valor de , temos que analisar o problema para cada caso de .
Passo 2
O primeiro caso é quando , o que nos dá . Nesse caso, as soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno: . Temos:
Isso nos dá
Como é diferente de zero, então:
Aqui temos o mesmo raciocínio (:
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos
Mas isso não nos ajuda em nada. Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, , não nos dá soluções para a EDO.
Passo 3
Vamos agora ao caso em que , o que nos dá . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno:
Isso nos dá
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos
Novamente, a solução trivial, que não nos ajuda em nada, então o caso também não traz soluções para a EDO.
Passo 4
Vamos agora ao último caso, . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Substituindo
Agora vamos usar as condições de contorno: . Temos:
Isso nos dá
Agora vamos com calma! Se tivermos , a solução é a trivial , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o cosseno seja zero.
Mas como o cosseno é uma função trigonométrica, isso não tem só uma resposta. O cosseno se anula de forma “intercalada” com o seno. Como assim? O seno se anula em , já o cosseno se anula “ antes”, ou seja, em . Se você ficar confuso, pode desenhar um ciclo trigonométrico! Temos, então:
Nós descobrimos, então, um conjunto de valores (autovalores) que satisfazem o nosso problema. Agora vamos substituir isso na solução geral :
Já descobrimos que
Substituindo:
Por convenção, as autofunções são escritas sem as constantes que as multiplicam, por isso tiramos o , ok? Mas qualquer combinação linear de satisfaz o nosso problema!
Pronto, essa é a nossa resposta!