P2 de Cálculo 4 da UFRJ - 2014.1

Considere o problema de valor inicial e de contorno, definido por

Que representa a distribuição de temperatura numa barra de seção uniforme, de material homogêneo e de comprimento .

1. Determinar a distribuição de temperatura da barra, denotada por para todo , após alcançado o estado de equilíbrio térmico (estado estacionário).
2. Definindo , determinar o problema de valor inicial e de fronteira que a função deverá satisfazer. Não é necessário resolver o problema obtido, porém deve se justificar todos os argumentos que conduzem a ele.

Determinar para quais valores de o seguinte problema de valor de contorno admite soluções não triviais (não identicamente nulas):

1. Considere a função de período definida por , para . Determinar a série de Fourier da função .
2. Usando o item (a), calcular a soma da série . Justifique a sua resposta.

Considere a equação de ondas em um meio dispersivo

1. Achar todas as soluções não triviais que possam ser escritas na forma e que satisfaçam .
2. Adicionando às condições de contorno do item (a) as condições iniciais e sendo uma função contínua em , com derivada seccionalmente contínua em e satisfazendo , determinar a solução .