Determinar para quais valores de o seguinte problema de valor de contorno admite soluções não triviais (não identicamente nulas):

O primeiro caso é quando , o que nos dá

Nesse caso, as soluções são do tipo:

Agora vamos usar as condições de contorno: . Temos:

Isso nos dá

Como o que está dentro do colchete é diferente de zero (lembra que nesse caso ), então:

Aqui temos o mesmo raciocínio:

Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos

Mas isso não nos ajuda em nada. Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, , não nos dá soluções para a EDO.

Vamos agora ao caso em que , o que nos dá . As soluções são do tipo:

Como a raiz , temos:

Agora vamos usar as condições de contorno:

Isso nos dá

Logo

Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos

Novamente, a solução trivial, que não nos ajuda em nada, então o caso também não traz soluções para a EDO.

Vamos agora ao último caso, . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso,

As soluções são do tipo:

Substituindo

Agora vamos usar as condições de contorno: . Temos:

Isso nos dá

Agora vamos com calma! Se tivermos , a solução é a trivial , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o cosseno seja zero.

Mas como o cosseno é uma função trigonométrica, isso não tem só uma resposta. O cosseno se anula de forma “intercalada” com o seno. Como assim? O seno se anula em , já o cosseno se anula “ antes”, ou seja, em . Se você ficar confuso, pode desenhar um ciclo trigonométrico! Temos, então:

Nós descobrirmos, então, um conjunto de valores (autovalores) que satisfazem o nosso problema.

Como o 3º caso é o único que nos dá soluções não triviais, essa é a resposta da questão.