P2 de Probabilidade e Estatística da PUCRIO - 2018.2

Enumere 5 propriedades da função de densidade de probabilidade de uma v.a. .

Seja uma variável aleatória contínua com densidade Normal, onde os valores possíveis de pertencem aos Reais, e e .

Determine a função de densidade de probabilidade da v.a. .

Suponha e dois valores de probabilidade conhecida. Assumindo duas v.a.’s discretas com distribuição conjunta , para e , mostre como encontrar:

1. O valor de em função de e , para que seja uma distribuição conjunta. Apresente a função conjunta somente em função de e .
2. A densidade condicional de dado
3. Podemos afirmar que e são independentes? Justifique sua resposta.

Considere um vetor aleatório com a seguinte função de densidade de probabilidade conjunta:

1. Calcule as funções de densidade de probabilidade marginais, e diga se e são independentes.
2. Determine a média e o desvio padrão condicional de dado .
3. Determine a distribuição acumulada condicional de dado e esboce o gráfico dos quantis de 5%, 50% e 95% para diversos valores de , ou seja, desenha a função para .

Um produto pesa em média com desvio padrão de . Esse produto é embalado em caixas com 150 unidades. Sabe-se que as caixas vazias pesam em média com desvio padrão de . Admitindo-se que os pesos das caixas e dos produtos sejam independentes entre si e modelados pela distribuição normal, responda:

1. A área de controle de qualidade da produção detecta a existência de não conformidades a partir do peso das caixas cheias. Ela tolera um erro de mais ou menos com relação ao valor médio da caixa cheia. Calcule a probabilidade de termos uma caixa fora do intervalo de conformidade.
2. Assumindo uma amostra de caixas cheias, qual a probabilidade do maior peso dentro desta amostra exceder a média de uma caixa cheia? Calcule para e .