Um produto pesa em média com desvio padrão de . Esse produto é embalado em caixas com 150 unidades. Sabe-se que as caixas vazias pesam em média com desvio padrão de . Admitindo-se que os pesos das caixas e dos produtos sejam independentes entre si e modelados pela distribuição normal, responda:

1. A área de controle de qualidade da produção detecta a existência de não conformidades a partir do peso das caixas cheias. Ela tolera um erro de mais ou menos com relação ao valor médio da caixa cheia. Calcule a probabilidade de termos uma caixa fora do intervalo de conformidade.
2. Assumindo uma amostra de caixas cheias, qual a probabilidade do maior peso dentro desta amostra exceder a média de uma caixa cheia? Calcule para e .

i.

O erro tolerável é de mais ou menos do peso médio da caixa cheia, ou seja, :

Então o intervalo de conformidade é

A probabilidade da caixa cheia estar nesse intervalo é portanto:

Mas nós queremos a probabilidade da caixa não estar no intervalo, então trabalhamos com a complementar:

Sabemos que , então vamos padronizar essa probabilidade:

Abrindo essa probabilidade em duas:

Nos livrando do sinal de ali dentro:

Procurando na tabela temos que :

ii.

Primeiro vamos calcular a probabilidade de o peso de uma caixa cheia valer mais que sua média , padronizando:

E como esperado, a probabilidade de qualquer variável que segue uma distribuição Normal ser maior que a sua própria média é de 50%, basta pensarmos na curva simétrica dela, que tem metade da sua área igual a .

Agora pensa comigo...

Falar que o maior peso deve exceder a média é a mesma coisa que falar que pelo menos um dos pesos vai exceder a média, certo? Já que pelo menos um deles tem que valer mais que , pelo menos o maior de todos. Mas pode ser que todas as caixas excedam o valor da média também!

Então, começando pelo caso , lembrando que nossa média é :

E isso aí vale...

O que nos leva a encontrar uma fórmula geral para o cálculo dessa probabilidade, entre caixas totais:

Agora calculamos para :

Agora finalmente para :