Considere um vetor aleatório com a seguinte função de densidade de probabilidade conjunta:
- Calcule as funções de densidade de probabilidade marginais, e diga se e são independentes.
- Determine a média e o desvio padrão condicional de dado .
- Determine a distribuição acumulada condicional de dado e esboce o gráfico dos quantis de 5%, 50% e 95% para diversos valores de , ou seja, desenha a função para .
Passo 1
a)
Começando pela marginal de :
E agora a de :
Agora temos que verificar a independência:
Como os resultados são diferentes, as v.a’s não são independentes.
Passo 2
b)
Primeiramente temos que calcular a probabilidade condicional de dado :
Agora a média:
E a esperança de dado :
E finalmente a variância:
E o desvio padrão é a raiz disso, então:
Passo 3
c)
FDA condicional é dada pela fórmula:
Calculando primeiro para :
Para :
E para :
Resposta
a)
b)
c)