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Exercícios Resolvidos de Medidas de Dispersão para V.A. Multidimensionais

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Exercício 131234567891011121415

Enunciado

Considere um vetor aleatório X , Y com a seguinte função de densidade de probabilidade conjunta:

f x , y = e - y ,     0 ≤ x ≤ y 0 ,     c a s o   c o n t r á r i o

  1. Calcule as funções de densidade de probabilidade marginais, e diga se X e Y são independentes.
  2. Determine a média e o desvio padrão condicional de X dado Y .
  3. Determine a distribuição acumulada condicional de X dado Y e esboce o gráfico dos quantis de 5%, 50% e 95% para diversos valores de y , ou seja, desenha a função Q a X Y = y = F X | Y = y - 1 ( a ) para a = 0,05   ; 0,5   ; 0,95 .

Passo 1

a)

Começando pela marginal de Y :

f y y = ∫ 0 y f x , y d x = ∫ 0 y e - y d x = x e - y 0 y = y e - y - 0 e - y = y e - y

E agora a de X :

f x x = ∫ 0 + ∞ f x , y d y = ∫ 0 + ∞ e - y d y = - e - y 0 + ∞ = 0 - - e - 0 = 1

Agora temos que verificar a independência:

f x , y = e - y

f x x × f y y = 1 × y e - y = y e - y

Como os resultados são diferentes, as v.a’s não são independentes.

Passo 2

b)

Primeiramente temos que calcular a probabilidade condicional de X dado Y :

f x y = f ( x , y ) f y y = e - y y e - y = 1 y

Agora a média:

E X Y = y = ∫ 0 y x 1 y d x = ∫ 0 y x y d x = x 2 2 y 0 y = y 2 - 0 = y 2

E a esperança de X 2 dado Y :

E X ² Y = y = ∫ 0 y x ² 1 y d x = ∫ 0 y x 2 y d x = x 3 3 y 0 y = y 2 3 - 0 = y 2 3

E finalmente a variância:

V a r X Y = y = E X ² Y = y - E X Y = y 2

= y 2 3 - y 2 2 = y 2 3 - y 2 4 = y ² 12

E o desvio padrão é a raiz disso, então:

D P X Y = y = y 2 12 = y 2 3

Passo 3

c)

FDA condicional é dada pela fórmula:

F X | Y = y - 1 ( a ) = P X ≤ a Y = y = ∫ - ∞ a f ( x | y ) d x

Calculando primeiro para a = 0,05 :

F X | Y = y - 1 0,05 = ∫ 0 0,05 1 y d x = x y 0 0,05 = 0,05 y

Para a = 0,5 :

F X | Y = y - 1 0,5 = ∫ 0 0,5 1 y d x = x y 0 0,5 = 0,5 y

E para a = 0,95 :

F X | Y = y - 1 0,95 = ∫ 0 0,95 1 y d x = x y 0 0,95 = 0,95 y

Resposta

a)

f y y = y e - y

f y y = 1

b)

y 2

y 2 3

c)

0,05 y

0,5 y

0,95 y

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