Suponha e dois valores de probabilidade conhecida. Assumindo duas v.a.’s discretas com distribuição conjunta , para e , mostre como encontrar:
- O valor de em função de e , para que seja uma distribuição conjunta. Apresente a função conjunta somente em função de e .
- A densidade condicional de dado
- Podemos afirmar que e são independentes? Justifique sua resposta.
Passo 1
a)
Para a função ser de distribuição conjunta, os somatórios tem que ser igual a 1:
Reorganizando isso daí:
Abrindo os somatórios:
Esse segundo parênteses pode ser agora reescrito como outro somatório:
E agora lembrando da sacada da série geométrica, sabemos que
Passo 2
b)
Com o valor de , nossa função de probabilidade conjunta é:
Precisamos primeiro calcular as marginais, começando pela de :
Agora a de
Então a condicional de dado que vai ser:
Passo 3
c)
Multiplicando as duas marginais:
Verificamos que o resultado é igual a função de probabilidade conjunta. Então as v.a.’s são independentes!
Resposta
a)
b)
c)
São independentes.