P3 de Probabilidade e Estatística da PUCRIO - 2017.1

Em uma grande rede corporativa de computadores, o intervalo de tempo entre duas conexões consecutivas ao sistema pode ser modelada por uma variável aleatória do tipo exponencial. Sabe-se que em média, chegam 40 conexões por hora. Pergunta-se:

1. Qual a probabilidade de que o intervalo entre as conexões seja superior a 6 minutos?
2. Qual a probabilidade de que o intervalo entre as conexões esteja entre 3 e 4 minutos?
3. Determine o intervalo de tempo tal que a probabilidade de nenhuma conexão ocorrer neste intervalo seja igual a 0,9. Lembre-se de que a distribuição se refere ao intervalo de tempo entre duas conexões sucessivas.

Observação:

- Mostre os resultados considerando 4 casas decimais.

Seja “” e “” duas Variáveis aleatórias discretas cuja função de probabilidade conjunta é expressa por:

a) Determine a constante “” para que seja uma função de probabilidade das variáveis aleatórias e .

b) Encontre a densidade condicional de dado .

b) Seja variável aleatória discreta com a seguinte distribuição de probabilidade conjunta:

Pede-se:

Calcular e o Coeficiente de Correlação

Observação:

- Demonstrar a expressão da Covariância.

- Mostre os resultados considerando 4 casas decimais.

Seja uma Variável aleatória contínua com densidade Normal de média e variância .

Determine a densidade de

a) Seja “” uma v.a. normal com média “” e variância “”, e “” uma v.a. qui-quadrado .

Se compararmos as curvas das funções densidade de probabilidade de uma distribuição qui-quadrado com “” graus de liberdade: e , qual destas duas curvas de variáveis aleatórias está mais próxima de ter um coeficiente de assimetria igual a zero, esboce em um mesmo gráfico as três curvas.

A performance nominal de uma ferramenta de corte é em média de 980 peças cortadas por vida útil com desvio padrão de 10 peças. Uma amostra de 5 destas ferramentas apresentaram performance em suas vidas úteis de: média = 1003 e variância = 145. Podemos dizer, para o nível de 5% de significância, que a média e a variância da performance nominal desta ferramenta aumentaram? Teste as hipóteses.

Defina claramente suas hipóteses. Mostre o resultado através do cálculo da estatística do teste. Esboce um gráfico da distribuição do teste indicando claramente a área de rejeição e aceitação de .

Você chega ao check-in de um aeroporto carregando uma mala que contém 10 pacotes de café, 5 pacotes de tapioca e 7 pacotes de feijão. Suponha que os pesos desses itens são todos v.a.’s independentes com distribuição Normal com as seguintes médias e desvios-padrão:

Pacotes de café: média e desvio-padrão .

Pacotes de tapioca: média e desvio-padrão .

Pacotes de feijão: média e desvio-padrão .

Suponha que o peso da mala vazia é 1,5 kg e que, além disso, você ainda carrega exatos 2,0 kg de roupas.

Pede-se:

1. Determinando o valor esperado e a variância do peso total da bagagem detalhando todos os cálculos, qual a probabilidade de que o peso de sua bagagem exceda os 20 kg permitidos para o embarque.
2. No counter foram amostradas 25 bagagens com um peso médio de e desvio-padrão de . A Aviação aérea deseja saber qual a probabilidade de que o peso médio das bagagens esteja entre e .

Observação:

- Mostre os resultados considerando 4 casas decimais.

- Para utilizar a tabela da normal, ajustar para 2 casas decimais.

Você chega ao check-in de um aeroporto carregando uma mala que contém 10 pacotes de café, 5 pacotes de tapioca e 7 pacotes de feijão. Suponha que os pesos desses itens são todos v.a.’s independentes com distribuição Normal com as seguintes médias e desvios-padrão:

Pacotes de café: média e desvio-padrão .

Pacotes de tapioca: média e desvio-padrão .

Pacotes de feijão: média e desvio-padrão .

Suponha que o peso da mala vazia é 1,5 kg e que, além disso, você ainda carrega exatos 2,0 kg de roupas.

Pede-se:

1. Determinando o valor esperado e a variância do peso total da bagagem detalhando todos os cálculos, qual a probabilidade de que o peso de sua bagagem exceda os 20 kg permitidos para o embarque.
2. No counter foram amostradas 25 bagagens com um peso médio de e desvio-padrão de . A Aviação aérea deseja saber qual a probabilidade de que o peso médio das bagagens esteja entre e .

Observação:

- Mostre os resultados considerando 4 casas decimais.

- Para utilizar a tabela da normal, ajustar para 2 casas decimais.