Distribuição Exponencial
Em uma grande rede corporativa de computadores, o intervalo de tempo entre duas conexões consecutivas ao sistema pode ser modelada por uma variável aleatória do tipo exponencial. Sabe-se que em média, chegam 40 conexões por hora. Pergunta-se:
- Qual a probabilidade de que o intervalo entre as conexões seja superior a 6 minutos?
- Qual a probabilidade de que o intervalo entre as conexões esteja entre 3 e 4 minutos?
- Determine o intervalo de tempo tal que a probabilidade de nenhuma conexão ocorrer neste intervalo seja igual a 0,9. Lembre-se de que a distribuição se refere ao intervalo de tempo entre duas conexões sucessivas.
Observação:
- Mostre os resultados considerando 4 casas decimais.
Passo 1
Vamos denotar nosso intervalo de tempo entre duas conexões consecutivas por uma v.a. . Sabemos que:
E na exponencial, a média é dada por:
E o enunciado nos diz que chega são feitas em média, 40 conexões por hora. Portanto, o tempo médio de espera entre conexões é:
Ou seja, leva-se em média entre conexões.
Passo 2
a)
Queremos:
Que é a mesma coisa que dizer:
Hmmm, essa probabilidade desse jeitinho com o sinal me dá uma vontade de usar a FDA de , já que:
E na exponencial, a FDA é dada por:
Então:
Passo 3
b)
Agora ele tá pedindo:
Que é a mesma coisa que:
Usando a FDA de novo:
Passo 4
c)
A gente tava trabalhando com o intervalo de tempo entre acontecimentos (as conexões), e agora a questão tá perguntando sobre a ocorrência desses acontecimentos: Relação Exponencial-Poisson!
Vamos chamar de o número de conexões em um certo intervalo de tempo. Sabemos que:
Onde como já vimos e é o intervalo de tempo analisado.
O item tá pedindo o intervalo de tempo que temos que analisar para que com, 90% de chance, não ocorra nenhuma conexão. Então queremos que:
Usando a fórmula pro cálculo de probabilidade da Poisson:
Resposta
Letra a)
Letra b)
Letra c)