Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Contínuas
Seja “” e “” duas Variáveis aleatórias discretas cuja função de probabilidade conjunta é expressa por:
a) Determine a constante “” para que seja uma função de probabilidade das variáveis aleatórias e .
b) Encontre a densidade condicional de dado .
Passo 1
a)
Para uma função de densidade ser realmente de densidade:
Mas repara comigo, nosso domínio é de números naturais: 3,4,5...
Então nossas v.a.s não discretas! Até podemos resolver isso aí fazendo do modo usual, mas eu não tô muito empolgada pra resolver essa integral lindíssima com e no expoente, vocês estão? Pois é...
Então vamos “discretizar” nossa integral, que nada mais é que uma soma de valores contínuos. Então vamos substituí-la por uma soma de valores discretos, ou o famoso somatório! Então vamos fazer:
Agora eu preciso que vocês lembrem do macete da série geométrica, esse aqui ó:
Nosso são as nossas frações na base e nosso são nossas incógnitas e ! Show? Podemos botar a série geométrica lá?
Nãooo, atenção ao índice do somatório! Ele começa no 1, e nossos somatórios começam no 3. Então vamos somar as parcelas do somatório com índice 1 e 2 pra garantir a igualdade. Assim:
Isolando os somatórios e fazendo essas continhas:
Voltando a nossa condição para fazer de uma densidade e substituindo os valores:
Passo 2
b)
Lembrando a fórmula da densidade condicional de dado que :
Onde é a marginal de dada por:
Mas vimos que nessa questão podemos usar o somatório no lugar da integral, então:
Como a integral é em função de , nosso somatório também vai ser em função de , ou seja, os termos com podem sair do somatório como se fossem constantes:
E nós já calculamos esse somatório lá em cima! Substituindo o resultado:
Agora podemos calcular nossa condicional: