Probabilidade condicional e Eventos independentes
Para sagrar-se campeão de um torneio de tênis, um jogador precisa vencer quatro partidas sucessivas, todas elas eliminatórias. José é um dos participantes e suas probabilidades de vitória em cada partida (caso ele não tenha sido eliminado até então) foram estimadas em: 80% na 1ª partida, 70% na 2ª partida, 60% na 3ª partida (semifinal) e 50% na 4ª partida (final). Observe que estas probabilidades independem de quem seja o seu adversário em cada partida. Calcule as probabilidades de que José:
- Não consiga chegar até a final;
- Consiga chegar a uma semifinal, dado que não será o campeão.
Passo 1
Primeiramente vamos montar o espaço amostral desse torneio de tênis.
Quais os resultados possíveis ?
Então:
Passo 2
Agora vamos determinar a probabilidade de cada resultado desse.
Probabilidade de ele perder de primeira é 1 menos a prob. de ele ganhar a primeira partida.
Prob. de ele perder na segunda é igual a prob. de ele ganhar a primeira vezes a prob. de ele perder a segunda.
Prob. de ele perder na terceira é a prob. de ele ganhar a primeira vezes a prob. de ganhar a segunda vezes a prob. de perder a terceira.
Prob. de ele perder na quarta segue o mesmo raciocínio.
E a prob. de vencer o torneio é:
Passo 3
(a)
Considerando:
A gente pode dizer que , concorda? São os dois casos que a pessoa pelo menos chega a final.
Então:
Passo 4
Mas o exercício pede a probabilidade do cara não chegar a final, ou seja:
Pelo que a gente sabe:
Passo 5
(b)
Chamando de:
O exercício agora pede Probabilidade de chegar a semifinal, dado que não foi campeão.
Pela fórmula da probabilidade condicional:
Passo 6
A gente sabe que:
Único caso em que José é campeão.
Com isso:
No mesmo raciocínio.
Porque nesses dois casos José chega pelo menos a semifinal, mas não é campeão.
Passo 7
Agora é substituir na fórmula.