Numa linha de produção o número de peças defeituosas em 1 dia de operação da fábrica pode ser modelado por uma distribuição de Poisson com taxa média de ocorrência de 6 peças defeituosas por dia.

(a) Seja o intervalo de tempo, em dias, entre duas ocorrências sucessivas da fabricação de itens defeituosos. Forneça a expressão matemática da função de densidade de . Deduza através de integração a expressão matemática da função de distribuição acumulada de .

(b) Qual a probabilidade de que esteja entre 8 e 12 horas?

(c) Determine a amplitude de um intervalo de tempo para que a probabilidade de nenhuma peça defeituosa ser produzida ao longo dele seja de 90%.

Para a função de densidade, basta lembrarmos a fórmula da densidade da Exponencial (ou ver no formulário, porque ninguém é de ferro, não é mesmo?):

Lembrando que a Exponencial só existe para valores da v.a. iguais ou maiores a zero! Como :

Agora para deduzir por integração a função de distribuição acumulada , temos que lembrar que ela é a integral da função de densidade! O enunciado dá até o bizu pra gente. Mas a integral vai de onde até onde mesmo? Começa no zero e vai até a própria v.a., ou seja, até :

Eita, vamos integrar em função de tendo um no limite de integração? Confuso, né? Para não confundir a nossa vida, vamos reescrever a função de densidade com no lugar de e agora integrar em função de . Assim ó:

Pra integrar isso aí, vamos ter que fazer uma substituição simples. Desse jeito:

A integral substituída fica:

Como :

Lembrando dos limites de integração iniciais:

Entããão, esse resultado aí é nossa FDA, lembrando que para sempre :

b)

Agora temos que calcular a probabilidade de estar entre 8 e 12 HORAS. Opa! Aqui temos que ter muita atenção. Nosso parâmeto é em DIAS, temos que passar esse 8 horas e 12 horas para dias então, e ficar com as unidades certinhas:

Então a probabilidade que queremos é de estar entre esses valores:

Podemos calcular isso aí integrando a função de densidade nesse intervalo ou pela função de distribuição acumulada. Vamos usar ela aqui. Para isso, vamos lembrar primeiro o que é a FDA:

Então temos que colocar nossa probabilidade nesse formato. Sabemos que:

Pronto! Essas duas aí podem ser calculadas pela FDA:

c)

Queremos descobrir a amplitude de um certo intervalo de tempo que garanta 90% de chance de nenhuma peça produzida ser defeituosa. Vamos chamar esse intervalo de .

Sabemos que a probabilidade de nenhuma peça defeituosa ser produzida é:

Agora temos que lembrar lááá do bizu que falamos na teoria. Falar que nenhuma peça defeituosa vai ser produzida em , também significa que o intervalo de tempo entre a produção de peças produzidas (ou seja, nossa v.a. ) deve ser maior que . Ou seja, a produção da peça defeituosa tem que acontecer depois do nosso intervalo acabar! Então:

Sabemos que essa probabilidade tem que ser de 90% e precisamos descobrir o valor de :

Usando o conceito de FDA e de probabilidade complementar, temos que:

Então:

Igualando isso aí ao :

Substituindo a expressão da FDA que já calculamos:

Aplicando logaritmo dos dois lados:

Não podemos esquecer que nossa distribuição tá sendo toda descrita em dias! Para ficar mais bonitinho, vamos dar a quantidade equivalente em minutos: