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Seja uma variável aleatória discreta que corresponde à durabilidade de uma peça, em anos incompletos. A função de distribuição acumulada de é dada por:
(a) Determine a função de probabilidade de .
(b) A grandeza é considerada uma característica de qualidade importante do processo de produção. Calcule o valor esperado de .
(c) A durabilidade de uma peça similar produzida por meio de um novo processo de fabricação é . Se é uma Poisson de parâmetro 2, independente de , calcule a probabilidade de que uma peça produzida pelo novo processo dure menos que uma peça produzida pelo processo original, ou seja, .
Passo 1
a)
V.a. discreta falando sobre tempo?! Isso pode parecer estranho a princípio, mas aqui vai fazer sentido porque estamos falando de anos incompletos! Isso faz com que anos quebrados (valores com vírgula) sejam representados todos pelo menos número inteiro inferior. Tipo assim, tanto anos, quanto anos, ou anos, todos esses valores são representados por anos incompletos! Porque passamos do período de anos, mas não tanto a ponto de alcançarmos anos. Então basicamente vamos ter isso aqui ó:
Usando essa notação, podemos reescrever nossa FDA usando intervalos para que façam mais sentido para v.a.s discretas:
Então vai poder assumir os valores .
Agora precisamos pensar em como calcular a função de densidade de . No caso das v.a.s discretas, ela sempre é escrita em formato de tabelhinha. Então vamos ter que calcular a probabilidade de assumir cada um dos seus possíveis valores e completar a tabela:
Para isso, podemos usar nossa FDA.
Começando por . Esse é o menor valor que nossa v.a. pode assumir, isso significa que a nossa função de densidade vai ter o mesmo valor da função de distribuição acumulada nesse ponto, já que, como é o primeiro valor da v.a., não existem probabilidades acumuladas antes dele:
E para saber quem é , basta olharmos a expressão da nossa FDA e descobrir quanto ela vale para :
Agora para , podemos usar a FDA no ponto , mas sem esquecer de subtrair as probabilidades acumuladas antes disso, ou seja, :
Seguindo o mesmo raciocínio para os valores restantes de :
Completando nossa tabela com os valores calculamos, temos nossa função de densidade:
Passo 2
b)
Para calcular a esperança de , primeiro precisamos calcular a esperança da v.a. que está dentro dele, que é . Essa v.a. nada mais é que a raíz da v.a. que já conhecemos, e qual a diferença disso? Agora os valores que a v.a. pode assumir vão ser , ou seja:
Para calcular a esperança de , vamos fazer como sempre fizemos:
E a expressão de é:
“Aplicando” esperança dos dois lados e fazem distributiva:
Agora temos que lembrar as propriedades da esperança. Temos uma constante multiplicando a v.a., ela pode sair do parênteses e multiplicar a esperança normalmente. E a esperança de uma constante é igual a ela mesma, então , isso dá pra gente:
Substituindo :
Passo 3
c)
Agora temos uma outra v.a. no jogo:
A Poisson também é uma distribuição discreta, então vamos lidar com aquela contagem de anos incompletos de novo para a durabilidade da peça. Queremos calcular:
E sabemos que pode ser . Então para ser menor que , tem que ser . Vamos listar direitinho para quais valores das v.a.s a condição seria verdade:
Agora queremos somar todas essas condições para descobrir a probabilidade total de . Lembrando que em probabilidade toda vez que temos um nós multiplicamos as probabilidades (interseção), e toda vez que temos um nós somamos as probabilidades (união). Então nossa expressão fica:
Mas quem é esse galera toda? Para calcular as probabilidades de , basta lembrarmos da fórmula da Poisson:
E para calcular as probabilidades de , podemos usar a FDA, lembrando que:
Então vamos ficar com:
Resposta
a)
b)
c)