Exercícios Resolvidos de Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Discretas

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Enunciado

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Considere a distribuição conjunta de e , parcialmente conhecida, dada pela tabela abaixo.

(a) Complete a tabela, considerando e independentes.

(b) Calcule as médias e variâncias de e .

(c) Calcule .

Passo 1

Sabemos que todos os elementos da mesma linha somados tem que dar a marginal ao fim da linha, e todos os elementos da mesma coluna somados devem dar a marginal ao fim da coluna. Vamos começar por aí mesmo!

Na terceira linha, quando , podemos calcular a marginal fazendo:

Então:

Mas nós sabemos que as marginais de mesma linha somadas tem que dar , assim como as marginais de mesma coluna. Então podemos descobrir o valor da marginal da primeira linha, para :

Então:

Agora podemos descobrir o valor de , pois esse é o único valor em branco da linha:

Passo 2

E agora não tem mais nada pra resolver na soma de linhas e colunas, mas como as v.a.s são independentes, podemos contornar isso aí! Sabemos que para v.a.s independentes:

Vamos fazer isso aí para a nossa primeira probabilidade conjunta:

Substituindo pelos valores que já conhecemos, podemos achar o valor desconhecido :

Agora podemos voltar a somar as linhas e as colunas:

Reparem que aqui poderíamos ter achado esses valores em diferentes ordens, ou até usando a propriedade das v.a.s independentes ao invés de somar as linhas e colunas.

Passo 3

Primeiro a média de , calculamos normalmente uma média unidimensional:

Agora a de :

Agora a variância de :

E a de :

Passo 4

Agora vamos pensar sobre . Primeiro na . Olhando os valores que e podem assumir, vemos que a soma das duas só pode dar quando e . Então:

Agora vamos ver quando para descobrir o valor de . Reparem que o produto das variáveis só pode dar zero quando uma delas valer zero. Mas só o pode assumir valor zero! Então:

Vamos escrever nossa condicional aberta agora que sabemos os valores então:

Mas sabemos que , certo? É como se quisessmos a interseção de um conjunto dentro de outro, então a interseção tem que ser o menor desses conjuntos! Nossa condicional fica então: