PF de Probest da UFRJ - 2019.2

Admita que o atendimento, em minutos, num caixa de um banco seja uma variável aleatória , com densidade

a) Mostre que, de fato, é uma função de densidade.

b) Calcule a função de distribuição acumulada do tempo de atendimento, . Calcule também .

c) Suponha agora que o tempo de atendimento do outro caixa, , seja uma variável aleatória com densidade

Calcule e .

O custo de fábrica de um determinado produto é R$ 500,00 e ele é vendido por R$ 1.000,00 em uma certa loja. Quando um cliente compra esse produto, ele tem direito a 6 meses de garantia e caso o produto apresente defeito nesse prazo, ele trocará por um novo (gerando um prejuízo de R$ 500,00 para a loja). Assuma que essa troca só pode ser feita uma vez por cliente e considere que o tempo até esse produto apresentar defeito (em anos) é uma variável aleatória , cuja função densidade de probabilidade é apresentada abaixo:

a) Qual o valor esperado do lucro para a loja com a venda de uma unidade desse produto?

b) Considere que a loja oferecerá opção de o cliente pagar um adicional R$ 200,00 por uma garantia estendida, que aumenta em 1 ano o prazo para a troca em caso de defeito. O valor esperado do lucro para a loja com a venda de uma unidade com garantia estendida será maior ou menor do que a garantia padrão? Justifique.

c) Calcule o tempo adicional máximo que loja pode oferecer na garantia estendida de modo que essa opção não leve a um lucro esperado inferior ao de uma venda sem garantia estendida.

Para estimar a média de uma população, foram propostos três estimadores não viesados, , e , obtidos a partir de três amostras independentes, tal que . Considere os seguintes estimadores ponderados de :

a) Determine se os estimadores , e são ou não viesados.

b) Qual estimador possui menor erro quadrático médio (EQM)?

Uma empresa fabricante de luvas, antes de lançar um novo modelo de luvas no mercado, deseja realizar um estudo sobre o tamanho das mãos dos indivíduos da população alvo (distância do dedo mindinho ao polegar da mão aberta) a partir de uma amostra aleatória de tamanho . Estudos anteriores mostram que é razoável assumir que essa medida se comporta segundo uma distribuição normal.

a) Qual deve ser o valor de de forma que o intervalo de confiança de 95% para o tamanho médio das mãos dos indivíduos da população, , tenha amplitude menor ou igual a ? ( corresponde ao desvio padrão populacional).

b) Em uma amostra de 400 indivíduos, observou-se média de e variância amostral de . Obtenha um intervalo de confiança de de confiança para o tamanho média das mãos dos indivíduos da população.

c) Um intervalo com uma confiança maior teria amplitude maior ou menor? Justifique.