Probabilidade e Estatística – UFRJ – 2019.2 – PF – Questão 1
O custo de fábrica de um determinado produto é R$ 500,00 e ele é vendido por R$ 1.000,00 em uma certa loja. Quando um cliente compra esse produto, ele tem direito a 6 meses de garantia e caso o produto apresente defeito nesse prazo, ele trocará por um novo (gerando um prejuízo de R$ 500,00 para a loja). Assuma que essa troca só pode ser feita uma vez por cliente e considere que o tempo até esse produto apresentar defeito (em anos) é uma variável aleatória , cuja função densidade de probabilidade é apresentada abaixo:
a) Qual o valor esperado do lucro para a loja com a venda de uma unidade desse produto?
b) Considere que a loja oferecerá opção de o cliente pagar um adicional R$ 200,00 por uma garantia estendida, que aumenta em 1 ano o prazo para a troca em caso de defeito. O valor esperado do lucro para a loja com a venda de uma unidade com garantia estendida será maior ou menor do que a garantia padrão? Justifique.
c) Calcule o tempo adicional máximo que loja pode oferecer na garantia estendida de modo que essa opção não leve a um lucro esperado inferior ao de uma venda sem garantia estendida.
Passo 1
Fala pessoal, bora começar mais uma questão de prova?
A situação é a seguinte: caso o produto não apresente problemas nos primeiros seis meses, a loja terá um lucro de reais sobre esse produto. Todavia, se o produto apresentar problemas nesses seis meses a loja sairá com um prejuízo de reais.
O valor esperado do lucro será
Com isso, nosso problema no item (a) se resume a achar essas probabilidades!
Passo 2
Para achar as probabilidades, temos que integrar a função densidade de probabilidade. A probabilidade de o produto dar defeito nos primeiros 6 meses é dada pela integral de com entre e (6 meses é metade de um ano):
Como para temos que , segue que
Portanto,
Desta forma, a probabilidade de não dar defeito nos 6 meses é
Com isso fica fácil terminar o problema:
Fazendo as contas, encontramos
Passo 3
No item (b) a situação é um pouquinho diferente...
O período de garantia se estende para anos. Caso nesse tempo o produto apresente defeito, a loja toma um prejuízo de reais. Caso o produto não apresente defeitos nesse tempo, o lucro de loja é de reais. Assim,
Para calcular a probabilidade, temos que fazer a integral de até . Mas você precisa tomar um cuidado: de a usamos , enquanto entre e nós devemos usar :
Fazendo a integral:
Logo,
Portanto, a probabilidade complementar é
Com isso, o lucro esperado é
Portanto,
Esse lucro é menor que o lucro do item (a).
Passo 4
Por fim, vamos ao item (c)!
Queremos achar o tempo máximo que a loja pode oferecer a garantia estendida sem que o lucro esperado seja menor que na situação do item (a). Para isso, vamos considerar a seguinte situação:
O problema é que não sabemos qual é o tempo da garantia para calcular essas probabilidades (essa é a pergunta do problema). Nos itens anteriores, nós conhecíamos o tempo e daí calculávamos as probabilidades. Agora vamos fazer o caminho contrário!
Vale lembrar que
Por questão de simplicidade, vou escrever apenas :
Logo,
Portanto, a probabilidade de o produto apresentar defeito deve ser inferior a . O caso limite é quando e ela for exatamente . Queremos saber o valor de tal que
Isso significa que queremos achar tal que
Vimos no item (b) que
Portanto, deve ser maior que . Com isso, temos
Vamos olhar para a integral:
Logo, substituindo a integral na equação:
Ou ainda,
Aí temos que resolver essa equa��ão do segundo grau:
Nós achamos duas respostas:
Só o menor valor faz sentido no problema já que . Portanto, o tempo máximo que a loja pode dar na garantia estendida sem que tenha um lucro menor que o do item (a) é . Isso significa que o tempo adicional é
Resposta
a) .
b) Menor.
c) dias.