Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

Aplicando-se os conceitos da Integração por partes calcule:

∫ x 2 e x d x

Passo 1

E aí, tudo joia? Bora ver mais essa aqui?

Olha só, como o próprio problema sugere, vamos utilizar integração por partes, beleza? Isso porque temos um produto de duas funções de tipos diferente, tempos uma função algébrica x 2 , e uma função exponencial e x .

Lembra que a gente tem essa fórmula aqui pra calcular:

∫ u   d v = u v -   ∫ v   d u

Temos que escolher alguém para chamar de u e alguém para chamar de d v . Pra saber quem a gente escolhe, seguimos a ordem LIATE para escolher u . Assim ó:

  • Logaritmo
  • Inversa trigonométrica
  • Algébrica
  • Trigonométrica
  • Exponencial

Então a gente vai escolher u = x 2 e d v = e x .

Passo 2

Para aplicar na fórmula a gente ainda precisa de d u e v . Então vamos derivar u e integrar d v :

d u = x 2 ' = 2 x

v = ∫ e x   d x = e x

Agora que já temos tudo que precisávamos, a gente monta nossa integral por partes:

∫ u   d v = u v -   ∫ v   d u

∫ x 2 e x d x = x 2 e x - ∫ e x 2 x d x

Ficamos com essa última integral pra resolver. Podemos retirar a constante 2 da integral:

= x 2 e x - 2 ∫ x e x  

Passo 3

Repara que essa última integral também é um produto de funções de tipos diferentes. Então nesse caso, a gente aplica integração por partes de novo. Mas fica tranquilo, vai ser de boa, a gente vai seguir os mesmos passos que a gente fez ali em cima...

Vamos escolher:

u = x

d v = e x

A gente precisa agora de d u e v , vamos derivar u e integrar v :

d u = x ' = d x

v = ∫ e x   d x = e x

Passo 4

E aí:

∫ u   d v = u v -   ∫ v   d u

∫ x   e x   d x = x   e x - ∫ e x   d x

= x e x - e x + C

Show! Agora a gente vai substituir esse resultado lá na integral do passo anterior...

Passo 5

Vamos substituir aqui:

(pode deixar a constante pra colocar no final)

∫ x 2 e x d x = x 2 e x - 2 ∫ x e x d x

= x 2 e x - 2 x e x - e x

= x 2 e x - 2 x e x + 2 e x

A gente ainda pode colocar o e x em evidência, já que ele está em todos os termos:

= e x ( x 2 - 2 x + 2 )

Agora somamos a constante e FIM!

∫ x 2 e x d x = e x x 2 - 2 x + 2 + C

Nessa a gente precisou fazer duas integrações por partes, uma dentro da outra, e isso é até bem comum, então o jeito e seguir com bastante atenção na hora da resolução.

Resposta

∫ x 2 e x d x = e x x 2 - 2 x + 2 + C