Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Ver Teoria

Enunciado

Calcule a integral abaixo

∫ x e x   d x

Passo 1

E aí, tudo joia?

Bom, temos essa integral aí pra resolver e ela até não é tão feinha, mas mistrura duas funções de tipos bem diferentes. Temos ali o x , que é uma função algébrica, e temos também o e x , que é uma função exponencial.

Já que temos um produto de duas funções de tipos diferentes, vamos tentar usar a integração por partes. Lembra da fórmula para esse método?

∫ u   d v = u v -   ∫ v   d u

Nela a gente transforma essa integral que a gente não sabe resolver, em uma que a gente sabe.

E pra começar, temos que escolher alguém para chamar de u e alguém para chamar de d v . Pra saber quem a gente escolhe, seguimos a ordem LIATE para escolher u . Assim ó:

Olha pras funções que você tem na sua integral e veja qual o tipo que aparece primeiro.

  • Logaritmo
  • Inversa trigonométrica
  • Algébrica
  • Trigonométrica
  • Exponencial

Vamos ver então na nossa integral...

Passo 2

Pela ordem de escolha vemos que nossa integral tem uma função algébrica que é a função x , ela será o nosso u .

u = x

E então o d v vai ser o que sobrou da nossa integral, no caso:

d v = e x d x

Beleza, a gente precisa agora de d u e v pra completar a fórmula. E pra isso vamos derivar u e integrar v :

d u = u '

d u = x ' = d x

v = ∫ d v

v = ∫ e x   d x = e x

Show! Agora temos os ingredientes pra jogar na nossa fórmula de integração por partes!

Passo 3

Substituindo na fórmula:

∫ u   d v = u v -   ∫ v   d u

∫ x   e x   d x = x   e x - ∫ e x   d x

A resposta da integral já começou a aparecer, mas veja que ainda temos uma integral pra resolver ali no final. Essa integral aqui ∫ e x   d x   é daquelas basiquinhas, no caso a integral da exponencial é a própria exponencial. Ou seja:

∫ e x   d x = e x + C

Passo 4

E aí resolvendo a última integral temos:

∫ x   e x   d x = x   e x - ∫ e x   d x

∫ x   e x   d x = x e x - e x + C

E esse é nosso resultado! Ainda podemos colocar o e x em evidência pra deixar mais bonitinho...

= e x x - 1 + C

Prontinho! Integral resolv

Resposta

A integral é

∫ x e x   d x = e x x - 1 + C