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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Exercício 61234578910

Enunciado

Calcule a integral abaixo

∫ p 5 ln ⁡ p d p

Passo 1

E aí, tudo joia?

Bom, analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de funções de tipos diferentes, temos um polinômio p 5 , que é uma função algébrica, e uma função logarítmica ln ⁡ p . Isso indica o uso da integração por partes, ok? Vamos usar então a fórmula da integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v .

Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a função logarítmica.

Aqui nós podemos usar o macete LIATE para escolher u na seguinte ordem:

  • Logarítmica
  • Inversa Trigonométrica
  • Algébrica ou (polinomial)
  • Trigonométrica
  • Exponencial

Ao fazer a escolha, nós teremos que substituir todos os termos da fórmula, então precisaremos de u e d u , d v e v . Teremos então:

u = ln ⁡ p d u =   ? d v = p 5 d p v =   ?

Passo 2

Agora nós precisamos achar v , integrando d v e achar d u derivando u . Ficando com:

d v = p 5 d p v = ∫ p 5 d p = p 6 6 u = ln ⁡ p d u = 1 p d p

(A gente integrou pela regra da potência, e derivou pela tabelinha normal😊)

Vamos seguir agora...

Passo 3

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ ln ⁡ p ⏟ u p 5 d p ⏟ d v = ln ⁡ p ⏟ u p 6 6 ⏟ v - ∫ p 6 6 ⏟ v 1 p d p ⏟ d u

=   p 6 ln ⁡ p 6 - 1 6 ∫ p 5 d p

Resolvendo aquela integralzinha ali, pela regra da potência, temos:

= p 6 ln ⁡ p 6 - 1 6 p 6 6 + C

Ou seja:

∫ p 5 ln ⁡ p d p = p 6 ln ⁡ p 6 - p 6 36 + C

Não pode esquecer da constante, hein!

Prontinho! Já acabamos😉

Resposta

∫ p 5 ln ⁡ p d p = p 6 ln ⁡ p 6 - p 6 36 + C